Si A es noetheriano, entonces Spec(A) es noetheriano

Question

Sea A un anillo noetheriano. ¿Cómo puedo demostrar que Spec(A) es noetheriano? Además, ¿hay alguna forma de demostrarlo mostrando directamente que los conjuntos cerrados en Spec(A) satisfacen la condición de cadena descendente?

(Este es el ejercicio 6.8 de Atiyah y Macdonald).

Answer 1

Me parece útil pensar en dos resultados algo más precisos.

Paso 1: Los mapeos

$J \mapsto V(J) = \{\mathfrak{p} \in \operatorname{Spec}(R) \ | \ J \subset \mathfrak{p} \}$ de los ideales de $R$ a subconjuntos de $\operatorname{Spec}(R)$

et

$S \mapsto I(S) = \bigcap_{\mathfrak{p} \in S} \mathfrak{p}$ a partir de subconjuntos de $\operatorname{Spec}(R)$ a los ideales de $R$

inducen biyecciones mutuamente inversas del conjunto de ideales radicales en $R$ a la familia de Zariski-cerrado subconjuntos de $\operatorname{Spec}(R)$ .

(Si no recuerdo mal, lo que se da en Atiyah-Macdonald antes del ejercicio en cuestión es suficiente para establecer esto sin mucho problema).

Paso 2: Por lo tanto, para cualquier anillo conmutativo $R$ , $\operatorname{Spec} R$ es noetheriano -- es decir, satisface DCC en subconjuntos cerrados de Zariski -- si $R$ satisface el CAC en los ideales radicales.

Los detalles se encuentran en $\S 13.5$ de mis apuntes de álgebra conmutativa .

Answer 2

Dejemos que $A$ sea un anillo noetheriano. Sea $I$ sea un ideal de $A$ . Denotamos por $V(I)$ el conjunto { $P \in$ Espec( $A$ ); $I \subset P$ }. Sea $N$ sea el nilradical de $A/I$ . Denotamos por rad( $I$ ) la imagen inversa de $N$ por el homomorfismo canónico $A \rightarrow A/I$ , es decir, rad( $I$ ) = { $x \in A$ ; $x^n \in I$ para algunos $n$ ( $n$ depende de $x$ )}. Dado que $N$ es un ideal (Proposición 1.7 de Atiyah-MacDonald), también lo es rad( $I$ ). Claramente $V(I)$ = $V$ (rad( $I$ )).

Dado que el nilradical de $A/I$ es la intersección de todos los ideales primos de $A/I$ (Proposición 1.8 de Atiyah-MacDonald), rad( $I$ ) = $\cap$ { $P \in V(I)$ }.

Supongamos que $V(I_1) \supset V(I_2) \supset \dots$ es una secuencia descendente de subconjuntos cerrados de Spec( $A$ ). Entonces rad( $I_1$ ) $\subset$ rad( $I_2$ ) $\subset \dots$ por la afirmación anterior. Dado que $A$ es noetheriano, existe $n$ tal que rad( $I_n$ ) = rad( $I_{n+1}$ ) = $\dots$

Por lo tanto, $V(I_n) = V(I_{n+1}) = \dots$

Por lo tanto, Spec( $A$ ) es noetheriano y hemos terminado.