Dejemos que $A$ sea un anillo noetheriano. Sea $I$ sea un ideal de $A$ . Denotamos por $V(I)$ el conjunto { $P \in$ Espec( $A$ ); $I \subset P$ }. Sea $N$ sea el nilradical de $A/I$ . Denotamos por rad( $I$ ) la imagen inversa de $N$ por el homomorfismo canónico $A \rightarrow A/I$ , es decir, rad( $I$ ) = { $x \in A$ ; $x^n \in I$ para algunos $n$ ( $n$ depende de $x$ )}. Dado que $N$ es un ideal (Proposición 1.7 de Atiyah-MacDonald), también lo es rad( $I$ ). Claramente $V(I)$ = $V$ (rad( $I$ )).
Dado que el nilradical de $A/I$ es la intersección de todos los ideales primos de $A/I$ (Proposición 1.8 de Atiyah-MacDonald), rad( $I$ ) = $\cap$ { $P \in V(I)$ }.
Supongamos que $V(I_1) \supset V(I_2) \supset \dots$ es una secuencia descendente de subconjuntos cerrados de Spec( $A$ ). Entonces rad( $I_1$ ) $\subset$ rad( $I_2$ ) $\subset \dots$ por la afirmación anterior. Dado que $A$ es noetheriano, existe $n$ tal que rad( $I_n$ ) = rad( $I_{n+1}$ ) = $\dots$
Por lo tanto, $V(I_n) = V(I_{n+1}) = \dots$
Por lo tanto, Spec( $A$ ) es noetheriano y hemos terminado.