Encontrar todos los $n\times n$ matrices $A$ satisfacción $\det(I+A^n)=(1+\det(A))^n$

Question

Problema: Encontrar todos los $n\times n$ matrices $A$ satisfactorio $$\det(I+A^n)=(1+\det(A))^n.$$

Claramente, la matriz de identidad $I$ funciona porque $$\det(I+I^n)=\det(2I)=2^n=(1+\det(I))^n.$$ Hay otras soluciones?

Answer 1

Sólo tenemos que: $$\prod_{\sigma\in\text{Spec}(A)}(1+\sigma^n)=\left(1+\prod_{\sigma\in\text{Spec}(A)}\sigma\right)^n \tag{1}$$ que puede lograrse de muchas maneras. Sin embargo, si $\text{Spec}(A)\subset[0,+\infty)$ (que pasa si $A$ es positivo semi-definida, por ejemplo), por la super-aditividad de la media geométrica (LHS$>$HR) se deduce que $(1)$ puede mantener sólo si $\text{Spec}(A)=\{\sigma\}$.