Deje $E \subseteq \mathbb R$ ser Lebesgue medibles. Y $E + q = E$ para cualquier número racional $q$. Mostrar que cualquiera de las $E$ o su complemento tiene una medida de $0$.
He probado este problema por unas horas, pero no podía ir muy lejos. Yo sólo me $E$ y su complemento son densa si no está vacío. Y $\mu (F +q \backslash E) = \mu (F \backslash E) $ cualquier $q$. Pero esto no parece ayudar mucho. Cualquier ayuda es muy apreciada.
Esta respuesta puede ser un poco largo, pero esto es debido a que estoy construyendo en una serie de pasos con amplios detalles.
Reivindicación 1: Vamos a $a$ $b$ ser números racionales tales que $a<b$. A continuación, $$\mu[E\cap(a,b)]=(b-a)\times\mu[E\cap(0,1)].$$
La intuición: El conjunto de $E$ tiene el mismo "densidad" en todos los intervalos abiertos con racional de los extremos.
Prueba: Si $a$ $b$ son números racionales y $a<b$, $b-a$ es un número racional positivo, entonces existen enteros positivos $m,n$ tal que $(b-a)=m/n$. Luego, por la traducción de la invariancia de la medida de Lebesgue, el hecho de que el conjunto de $E$ es invariante racional traducciones, y el hecho de que los únicos tiene medida de Lebesgue cero, uno tiene que \begin{align*} &\,\mu[E\cap(a,b)]=\mu[(E-a)\cap(0,b-a)]=\mu[E\cap(0,m/n)]=\sum_{j=1}^m\mu[E\cap((j-1)/n,j/n)]\\ =&\,\sum_{j=1}^m\mu[(E-(j-1)/n)\cap(0,1/n)]=\sum_{j=1}^m\mu(E\cap(0,1/n))=m\times\mu[E\cap(0,1/n)]\\ =&\,\frac{m}{n}\times n\times\mu[E\cap(0,1/n)]=\frac{m}{n}\times\sum_{j=1}^n\mu[(E-(j-1)/n)\cap(0,1/n)]\\ =&\,\frac{m}{n}\times\sum_{j=1}^n\mu[E\cap((j-1)/n,j/n)]=\frac{m}{n}\times\mu[E\cap(0,1)]=(b-a)\times\mu[E\cap(0,1)]. \end{align*} Esto completa la prueba. $\quad\blacksquare$
Reivindicación 2: Deje $U\subseteq\mathbb R$ ser cualquier conjunto abierto acotado. A continuación, $$\mu(E\cap U)=\mu[E\cap(0,1)]\times\mu(U).$$
La intuición: El conjunto de $E$ tiene el mismo "densidad" en todos los delimitada abrir sets, ampliando de esta manera la Reivindicación 1.
Prueba: seleccionar cualquier conjunto abierto acotado $U\subseteq\mathbb R$. Si $U$ está vacía, el reclamo es trivial. Si $U$ no está vacío, entonces $U$ puede ser descompuesto como en la mayoría de los contables distintos de la unión de intervalos abiertos: $$U=\bigcup_{n=1}^{N}(a_n,b_n)$$ for some real numbers $\{a_n,b_n\}_{n=1}^N$, where $N\in\mathbb N\cup\{+\infty\}$, such that $a_n<b_n$ for each $n$. (Note that since $U$ se supone que para ser acotado, ninguno de estos números puede ser de valor infinito.)
Ahora, fix $\varepsilon>0$. Para cada una de las $n$, elija $\hat a_n$ $\hat b_n$ de tal manera que
Vamos $$\hat U\equiv\bigcup_{n=1}^N(\hat a_n,\hat b_n).$$ Then, it is easy to see that $\sombrero U$ is open, $\hat U\subseteq U$, and $\mu(\hat U)>\mu(U)-\varepsilon$. A su vez, \begin{align*} &\,\mu(E\cap U)=\mu(E\cap\hat U)+\mu(E\cap U\setminus\hat U)=\sum_{n=1}^N\mu[E\cap(\hat a_n,\hat b_n)]+\mu(E\cap U\setminus\hat U)\\ =&\,\sum_{n=1}^N(\hat b_n-\hat a_n)\times\mu[E\cap(0,1)]+\mu(E\cap U\setminus\hat U)=\mu(\hat U)\times\mu[E\cap(0,1)]+\mu(E\cap U\setminus\hat U)\\ \leq&\,\mu(U)\times\mu[E\cap(0,1)]+\mu(U\setminus\hat U)<\mu(U)\times\mu[E\cap(0,1)]+\varepsilon, \end{align*} el uso de la Reivindicación 1.
Por otro lado, \begin{align*} &\,\mu(E\cap U)=\mu(E\cap\hat U)+\mu(E\cap U\setminus\hat U)=[\text{as above}]=\mu(\hat U)\times\mu[E\cap(0,1)]+\mu(E\cap U\setminus\hat U)\\ \geq&\,\mu(\hat U)\times\mu[E\cap(0,1)]\geq\mu(U)\times\mu[E\cap(0,1)]-\varepsilon\times\mu[E\cap(0,1)]. \end{align*}
La observación de que $\varepsilon>0$ puede hacerse arbitrariamente pequeña en los dos anteriores de la serie de desigualdades completa la prueba. $\quad\blacksquare$
Reivindicación 3: La medida del conjunto de $E\cap (0,1)$ es $0$ o $1$.
La intuición: La "densidad" de $E$, que es uniforme en todos los delimitada abrir establece por la Reivindicación 2, debe llenar completamente la medida completa de la referencia intervalo de $(0,1)$, o no por completo para llenarlo todo.
Prueba: Supongamos que $\mu[E\cap(0,1)]<1$. Por la regularidad de la medida de Lebesgue, existe un conjunto abierto $U\subseteq \mathbb R$ tal que $E\cap(0,1)\subseteq U$$\mu(U)<1$. Sin pérdida de generalidad, $U$ puede ser tomada como un subconjunto de a $(0,1)$. [Si no lo es, simplemente tome su intersección con la a $(0,1)$.] Si $\mu[E\cap(0,1)]>0$, entonces la Reivindicación 2 implica que \begin{align*} 0<\color{red}{\mu[E\cap(0,1)]}\leq\mu(E\cap U)=\mu[E\cap(0,1)]\times\mu(U)<\color{red}{\mu[E\cap(0,1)]}, \end{align*} lo cual es una contradicción. Por lo tanto, debe ser el caso de que si $\mu[E\cap(0,1)]<1$,$\mu[E\cap(0,1)]=0$, completando la prueba. $\quad\blacksquare$
Reivindicación 4: Cualquiera de las $\mu(E)=0$ o $\mu(E^{\mathsf c})=0$.
Intuición: asegúrese de que el champán está frío ya. Ya casi hemos terminado.
Prueba: Supongamos que $\mu(E)>0$. Por la traducción de la invariancia, es fácil ver que $$M\equiv\mu[E\cap(0,1)]=\mu[E\cap(n,n+1)]$$ for all $n\in\mathbb Z$, so $$0<\mu(E)=\sum_{n\in\mathbb Z}\mu[E\cap(n,n+1]]=\sum_{n\in\mathbb Z}\mu[E\cap(n,n+1)]=\infty\times M$$ implies that $M>0$ [and, in fact, $\mu(E)=\infty$]. By Claim 3, $M\en\{0,1\}$. Hence $M=1$, so that $\mu[E^{\mathsf c}\cap (0,1)]=0$. In turn, this implies that $\mu(E^{\mathsf c})=0$ by a similar translation-invariance argument, given that $E^{\mathsf c}+q=E^{\mathsf c}$ for all $q\in\mathbb P$ is easily seen to hold as well. $\quad\blacksquare$
Para el Lebesgue densidad teorema de ver la Wikipedia. Decimos que un punto de $x$ tiene una densidad de $\alpha$ $A$ si $$ \lim_{\epsilon \to 0} \frac{m(A \cap (x-\epsilon,x+\epsilon))} {2 \epsilon} = \alpha. $$ Ahora si $E$ es medible, entonces $E^c$ también es medible. Si $x \in E$ tiene una densidad de $1$$E$, $x$ tiene una densidad de $0$$E^c$. De ello se deduce que si cada una de las $x \in \mathbb R$ tiene una densidad de $1$ en $E$, $E^c$ no tiene puntos de densidad de $1$, lo que implica (por Lebesgue densidad teorema) que $m(E^c) = 0$.
Ahora si $m(A) > 0$, el argumento de triple_sec muestra que $m(A \cap (0,1)) = 1$ y, por tanto, que, por su observación de que $m(A \cap (a,b)) = (b-a) m(A \cap (0,1))$ para todos los intervalos de $(a,b)$, $$ \frac{m(A \cap (x-\epsilon,x+\epsilon))}{2 \epsilon} = m(A \cap (0,1)) = 1. $$ As this is independent of $x$ and $\epsilon$, every $x \in \mathbb R$ is a density point of $$.
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