Así que tengo que probar:
Para cada número natural mayor o igual que t $$(1+\frac1n)^n<n$$
Mi trabajo: Paso básico: $n=3$ $$\left(1+\frac13\right)^3<3$$ $$\left(\frac43\right)^3<3$$ $$\left(\frac{64}{27}\right)<3$$ lo cual es cierto.
Ahora el paso inductivo, supongamos $P(k)=\left(1+\frac1k\right)^k<k$ sea cierto y demuestre $P(k+1)=\left(1+\frac1{k+1}\right)^{k+1}<k+1$ .
Aquí es donde estoy atascado porque normalmente se suma o multiplica por $k+1$ o algún término similar.
Muy bien, entiendo cómo se rompió el $$\left(1+\frac1{k+1}\right)^{k+1}=\left(1+\frac1{k+1}\right)\left(1+\frac1{k+1}\right)^k$$ pero no veo como has sacado la desigualdad de la hipótesis
La primera desigualdad se debe simplemente a que $\frac{1}{k+1} < \frac{1}{k}$ . La segunda desigualdad fue por la hipótesis de inducción que $$\left( 1 + \frac{1}{k} \right)^k < k$$
Así que a partir de la hipótesis se multiplican ambos lados por un factor de $$\left(1+\frac1{k+1}\right)$$ y obtener $$\left(1+\frac1{k+1}\right)\left(1+\frac1k\right)^k<\left(1+\frac1{k+1}\right)k$$ ¿Verdad?
$\left(1+\frac 1 n\right)^n=1+1+\binom n 2\frac 1 {n^2}+\binom n 3 \frac 1 {n^3}+\dotsb+\frac 1 {n^n}$
Pero $\binom n k \frac 1 {n^k}=\frac {n(n-1)\dotsm(n-k+1)}{k!n^k}<\frac 1 {k!}$ .
Así que la expresión que nos interesa es menor que $$1+1+\frac 1 {2!}+\frac 1{3!}+\dotsb+\frac 1 {n!}<1+1+\frac 1 2 +\frac 1 4 +\frac 1 8+\dotsb=3.$$
Esto equivale a demostrar $$P(n)\colon\qquad (n+1)^n <n^{n+1}$$ para $n\ge3$ .
Paso inductivo: Suponemos que $P(k-1)$ se cumple, es decir, que $$k^{k-1}<(k-1)^k.$$ Probaremos $P(k)$ por contradicción .
Supongamos que $P(k)$ no se cumple, es decir, $$(k+1)^k \ge k^{k+1}.$$
Multiplicando las desigualdades $$ \begin{align*} (k-1)^k &> k^{k-1}\\ (k+1)^k &\ge k^{k+1} \end{align*} $$ obtenemos $$(k^2-1)^k \ge k^{2k},$$ es decir, $(k^2-1)^k \ge (k^2)^k$ lo cual es una contradicción.
Esto se puede utilizar para demostrar que la secuencia $\sqrt[n]{n}$ acaba disminuyendo. Supongo que hay algunos posts sobre esta cuestión, pero no he sido capaz de encontrar alguno rápidamente.
Dos enfoques
Paso inductivo tipo Bernoulli $$ \begin{align} \frac{\left(1+\frac1{n+1}\right)^{n+1}}{\left(1+\frac1n\right)^n} &=\overbrace{\left(\frac{n(n+2)}{(n+1)^2}\right)^{n+1}}^{\lt1}\frac{n+1}n\\ &\lt\frac{n+1}n \end{align} $$ Esto demuestra que si $\left(1+\frac1n\right)^n\lt n$ entonces $\left(1+\frac1{n+1}\right)^{n+1}\lt n+1$
Enfoque Bernoulli no inductivo
La desigualdad de Bernoulli dice que para $n\ge2$ , $$ \begin{align} \left(1-\frac1{n+1}\right)^n &=\left(\left(1-\frac1{n+1}\right)^{n/2}\right)^2\\ &\ge\left(1-\frac{n/2}{n+1}\right)^2\\[3pt] &=\left(\frac{n/2+1}{n+1}\right)^2 \end{align} $$ que es el recíproco de $$ \begin{align} \left(1+\frac1n\right)^n &\le\left(\frac{n+1}{n/2+1}\right)^2\\[6pt] &\lt2^2 \end{align} $$ Así, $\left(1+\frac1n\right)^n\lt n$ si $n\ge4$ .
Sólo tenemos que verificar la desigualdad para $n=3$ : $$ \left(1+\frac13\right)^3=\frac{64}{27}\lt3 $$
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¿Estás seguro de que no se supone que debes mostrar $$\left(1 + \frac1n\right)^n < 3\,?$$
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@DanielFischer, eso sería más difícil.
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@dfeuer Por supuesto. Pero no sería un ejercicio excepcional.
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¿Es posible demostrar algo con límites? Porque $\left( 1\; +\; \frac{1}{n} \right)^{n}$ tiende a $e$ como $n$ se acerca al infinito...?