Me preocupa el siguiente problema:
Me pregunto si existe algún tipo de integración por partes para una integral multidimensional Lebesgue-Stieltjes. En mi caso la integral está dada por (1) y su dominio es un subconjunto multidimensional de $ \mathbb {R}^n$ . Sospecho que esto implicaría la función $f$ en lugar de la medida correspondiente $ \mu $ de acuerdo con el Teorema 2 de abajo.
Estoy buscando un resultado similar al conocido resultado en el caso de $n=1$ es decir..: $$ \int\limits_a ^b g(t) \, df(t) = g(b)f(b)-g(a)f(a)- \int\limits_a ^b f(t) dg(t)$$
Estaría muy agradecido por cualquier indicio en la literatura que contenga información relevante sobre tales escenarios multidimensionales.
Hasta ahora he encontrado mucha literatura sobre el caso unidimensional, es decir. $ \Omega \subset \mathbb {R}$ pero nada definitivo sobre $ \Omega \subset \mathbb {R}^n$ para $n>1$ .
Consideremos el siguiente resultado bien conocido de la teoría de la dualidad en el Análisis:
Teorema 1 (cf. Frontera de Aliprantis, Teorema de Análisis Dimensional Infinito 14.14)
Deje que $ \Omega \subset \mathbb {R}^n$ y $ \Phi : C_c( \Omega ) \rightarrow \mathbb {R}$ ser una función lineal continua, donde $C_c( \Omega )$ es el conjunto de todas las funciones continuas realmente valoradas en $ \Omega $ con un soporte compacto. Luego $ \Phi $ puede expresarse de la siguiente manera: $$ \Phi (g) = \int\limits_ { \Omega } g(x) \, d \mu (x) \mspace {1in} \forall g \in C_c( \Omega ) \tag {1}$$ donde $ \mu $ es una medida regular firmada por Borel de la variación limitada, que se determina de manera única.
Para seguir trabajando con esta medida $ \mu $ Encontré el siguiente hecho interesante:
Vamos a definir $$ \Delta_h f(x) := \sum\limits_\delta (-1)^{ \sum_ {i=1}^n \delta_i } f(x-h( \delta )) \tag {2}$$ con $ \delta_i $ siendo cualquiera de los dos $0$ o $1$ , $h = (h_1, \dots ,h_n)$ y $h( \delta ) = (h_1 \delta_1 , \dots , h_n \delta_n )$ y la suma sobre $delta$ es decir, la suma de todos los vectores binarios posibles con longitud $n$ . Entonces el siguiente teorema es válido
Teorema 2 (cf. Frontera de Aliprantis, Teorema de Análisis Dimensional Infinito 10.50)
Si $f : \mathbb {R}^n \rightarrow \mathbb {R}$ es continua desde arriba y satisface $ \Delta_h f(x) \geq 0$ para todos $x \in \mathbb {R}^n$ y todos $h \in \mathbb {R}_+^n$ entonces existe una medida única de Borel $ \mu $ en $ \mathbb {R}^n$ satisfactoria (2).
Por el contrario, si $ \mu $ es la medida de Borel en $ \mathbb {R}^n$ entonces existe una función $f : \mathbb {R}^n \rightarrow \mathbb {R}$ (único hasta la traducción) que es continuo desde arriba, satisface $ \Delta_h f(x) \geq 0$ para todos $x \in \mathbb {R}^n$ y todos $h \in \mathbb {R}_+^n$ y satisface (2).
