Método de Frobenius, ¿por qué es un problema cuando las raíces de la ecuación indicial difieren en un entero

Question

Cuando la resolución de segundo orden ecuaciones diferenciales por el método de Frobenius en un punto singular regular, se supone que el uso de las dos raíces de la ecuación indicial para dar dos soluciones independientes.

Si sólo hay una raíz, no tiene sentido que usted necesita otro método para obtener una segunda solución independiente. Sin embargo, muchos de los textos dicen que también se necesita para hacer esto cuando las raíces difieren en un entero.

Por qué?

Es que cuando las raíces difieren en un entero, el dos de coincidencia de las soluciones no son independientes? Si es así, ¿por qué tiene que ser independiente?

Es que a veces van a ser independiente y a veces no? Si es así, cuándo van a ser independiente y cuando no?

Es que hay algo que impide calcular una de las soluciones? Si es así, ¿por qué?

Answer 1

Si usted mira en http://math.creighton.edu/nielsen/DE_Fall_2010/Series%20Solutions/Series_Solutions_Beamer.pdf, se escribe el resultado de recurrencia para una de las soluciones como $a_n F(n+r) = E$ donde $F(r)$ es la ecuación indicial, y estoy escribiendo $E$ a abreviar un complicado expresión que depende de una variedad de cosas, incluyendo la $n$. Si $F(n+r)=0$ algunos $n$$E \neq 0$, entonces esto no es solucionable.

Answer 2

Cada raíz de la indical ecuaciones no puede siempre encontrar un grupo de soluciones linealmente independientes, a veces, podemos encontrar más de un grupo de las soluciones linealmente independientes al mismo tiempo.

Para los ejemplos que ver de Encontrar la forma de una segunda lineal independiente de la solución cuando las dos raíces de la ecuación indicial son diferentes por un número entero y la Solución de una ecuación diferencial de 2º orden por el método de Frobenius.