Tengo dos coprime univariante entero de polinomios. A pesar de que no tienen ningún factor común como polinomios, pueden tener factores comunes en algunos (entero) de los valores. ¿Cómo puedo encontrar un valor?
Por ejemplo, supongamos que los polinomios son $x^3-x^2+3x-1$$x^3+2$. Son coprime en $\mathbb{Z}[x]$, pero $\gcd(27^3-27^2+3\cdot27-1, 27^3+2)=\gcd(19034,19685)=31.$
Aquí está una explicación.
Deje $f=x^3-x^2+3x-1$$g=x^3+2$.
Aunque$\gcd(f,g)=1$$\mathbb{Z}[x]$, no podemos escribir $1=uf+vg$ $u,v \in \mathbb{Z}[x]$ (debido a $\mathbb{Z}[x]$ no es un EPI). Pero podemos, si nos permitir $u,v \in \mathbb{Q}[x]$. De hecho, WA nos dice que $$ 1 = \dfrac1{31} (-6 x^2-7 x-3)f(x)+\dfrac1{31}(6 x^2+x+14)g(x) $$ Por lo tanto $$ 31 = (-6 x^2-7 x-3)f(x)+(6 x^2+x+14)g(x) $$ para todos los $x \in \mathbb Z$.
Esto sólo demuestra que $\gcd(f(x),g(x))=1$ o $31$ (debido a $31$ es primo), pero apunta a $31$.
Así que tratamos de solucionar $f(x)\equiv g(x) \equiv 0 \bmod 31$ y encontrar que $x=27$ es una solución.
Por lo tanto, $\gcd(f(x),g(x))=31$ todos los $x=27+31k$. Para todos los demás valores, $\gcd(f(x),g(x))=1$.
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