Definición de Grassmannian afín

Question

Estoy estudiando las propiedades geométricas de los afín Grassmannians y me encontré con un problema con respecto a los diferentes definiciones de afín Grassmannian.

Deje $k$ ser un campo y $R$ $k$- álgebra. Por decir un $R$-de la familia de las rejillas en $k((t))$, nos referimos a una finitely generado proyectiva $R[[t]]$-submódulo $\Lambda$ $R((t))$ tal que $\Lambda\otimes_{R[[t]]}R((t))=R((t))^n$. Entonces tenemos la siguiente definición.

$\textbf{Definition 1.}$El afín Grassmannian $Gr_{GL_n}$ $GL_n$ es la presheaf que toma todas las $k$-álgebra $R$ para el conjunto de la $R$-a las familias de las rejillas.

Mientras, hay una definición más general para cualquier liso afín $k$-grupo.

$\textbf{Definition 2.}$Deje $G$ ser un suave afín $k$-grupo.El afín Grassmannian $Gr_G$ $G$ se define como el conjunto de pares $(\varepsilon,\beta)$ donde $\epsilon$ $G$- torsor en la unidad de disco $D_R:=speck(R[[t]])$ $\beta:\epsilon|_{D_R^{\times}}\simeq\epsilon^0|_{D_R^{\times}}$ es una trivialización.

Mi pregunta es, teniendo en $G=GL_n$ en la definición de $2$, por lo que es equivalente a la definición de $1$?

Agradezco cualquier comentario o respuestas. Gracias de antemano.

Answer 1

Nos dan dos explicaciones. Elegir cuál de ellas te gusta más.

1. Hay una prueba de que las dos definiciones son equivalentes para$\text{GL}_n$, en el artículo "Afín Springer Fibras Afines y de Deligne-Lusztig Variedades" por U. Görtz aquí.

   Görtz, Ulrich. Afín Springer fibras afines y de Deligne-Lusztig variedades. Afín a la bandera de los colectores y de los principales paquetes, 1-50, Tendencias De Matemáticas., Birkhäuser/Springer Basel AG, Basilea, 2010.

   La reclamación que usted desea es la Proposición 2.10. A ver por qué su Definición 2 es el mismo que el cociente $LG/L^+G$ (con Görtz la notación) observe que la banalización $\beta$ le da un elemento de $LG$ (es decir, un automorphism de la trivial $G$-torsor en el formal perforado disco) una vez que banalizar el torsor $\epsilon$. Sin embargo, hay $L^+G$ muchas maneras de hacer que la banalización, por lo que el conjunto de pares $(\epsilon, \beta)$ es el mismo que el cociente, Usted puede hacer que precisa de hacerlo en $R$-a las familias.

2. Usted puede encontrar esto en el papel de "Conformación de bloques y generalizada de la theta de funciones" por parte de Beauville y Laszlo (Sección 1) aquí, junto con el papel "de la Onu déjame de descente" por los mismos autores de aquí.

   Beauville, Arnaud; Laszlo, Yves. Conformación de bloques y generalizado de funciones theta. Comm. De matemáticas. Phys. 164 (1994), no. 2, 385-419.

   Beauville, Arnaud; Laszlo, Yves. La onu déjame de descente. C. R. Acad. Sci. París Sér. Yo De Matemáticas. 320 (1995), no. 3, 335-340.

   Si $R=k$, la idea es que cada vector paquete en cualquiera de los afín a la línea, o la formal disco es trivial, por lo que cada vector paquete en la línea proyectiva surge por el encolado de la trivial paquete en el afín a la línea y el trivial paquete en el formal de disco mediante la especificación de un encolado de isomorfismo. Este encolado isomorfismo puede ser dado por un elemento del bucle grupo, pero no se determina únicamente. Si nos pasar a partir del vector de paquetes, a los pares de vectores paquetes y una trivialización como en el post original, entonces la no-unicidad corresponde exactamente a tomar el cociente del bucle grupo por la positiva bucle de grupo (si uno se quedó con el vector paquetes, uno podría en lugar de llegar a una doble cociente del bucle de grupo).

   Si $R$ cualquier $k$-álgebra, uno tiene que trabajar más para llevarlo a cabo "en las familias", en particular si $R$ no es Noetherian. Ver el antes mencionado papeles.

Puedo pedir, además, la manera de establecer la equivalencia entre el $\text{GL}_n$-torsors y el vector de paquetes de rango $n$?

De nuevo, nos dan dos explicaciones. Elegir cuál de ellas te gusta más.

1. Si estás familiarizado con la "estructura" del grupo (en términos de pegar gráficos) perspectiva sobre el vector de paquetes y torsors, entonces usted puede ver, esto debido a que tienen la misma estructura de grupo.

2. Deje $V$ estándar $n$-dimensional $\text{GL}_n$-representación. Dado un $\text{GL}_n$-torsor sobre $X$, decir $P \to X$, podemos tomar el vector asociado bundle $(P \times V)/G$ donde $G$ actúa en $P \times V$ por la diagonal de la acción (es decir, para $\rho \in P$ y $v \in V$, $g * (\rho, v) = (g * \rho, g^{-1} * v)$ - la torsión por $^{-1}$ no es particularmente importante, pero hace las cosas más bonitas, en particular, usted puede pensar acerca de este cociente como "que permite mover los $G$-acción a través del producto"). Resulta ser una equivalencia; a la inversa está dada por el "marco " paquete" de la construcción. Es decir, dado un vector paquete de $V$$X$, podemos asociar a un $\text{GL}_n$-torsor $P$ $X$ que, como un conjunto, es $(x, b_1, \ldots, b_n)$ donde $x \in X$ $b_1, \ldots, b_n$ es una base de la fibra. Hay algunos detalles en topologizing esta que no estoy seguro de improviso.

   No estoy seguro de cuál es la estructura del grupo está con la guardia baja, pero se puede pensar en un torsors y como algún elemento en algún tipo de cohomology, específicamente $H^2(X, G)$ (tenemos que ser un poco cuidadoso acerca de a qué categoría nos referimos aquí - es decir, si $X$ es un espacio topológico, a continuación, $G$ es la constante de la gavilla. Si $X$ es un esquema, usted probablemente tendrá que elegir una topología de Grothendieck, etc.). Es decir, un torsor ha de satisfacer una cocycle condición y dos torsors son las condiciones, si ellos están relacionados por una coboundary. Por otro lado, usted puede hacer lo mismo para que el vector de paquetes: son localmente dada por como banalizaciones con mapas de transición secciones a $\text{GL}_n$, es decir, un elemento de $H^2(X, \text{GL}_n)$. Se lo clave aquí es que los mapas de transición para $\text{GL}_n$-torsors y para que el vector de paquetes son tanto $\text{GL}_n$valores de los mapas de $X$, así que los "datos" para que los dos son el mismo, en una forma "natural" (es decir, el cocycle condiciones y coboundaries deben coincidir, y de lo que significa ser un morfismos así).

   También, la construcción en el párrafo "Vamos a $V$ ser...", de hecho, puede hacerse con cualquier grupo de $G$ y cualquier representación $V$; es decir, tenemos una manera de convertir una representación y un torsor en un vector paquete. Esta construcción es también functorial. Hay dos "variables" en el lado izquierdo de este functor. Si fijamos una escogida representación de $V$, obtenemos un functor de $G$-torsors a vector de paquetes. Una buena representación (no estoy familiarizado con la guardia baja con los detalles sobre qué tipo de representación sería suficiente, pero sin duda, por ejemplo, la representación trivial no), podemos repetir los pasos anteriores para otros grupos $G$ (de constructo y la inversa de las equivalencias, por ejemplo, ortonormales marco de paquete, no estoy seguro). También podemos fijar en lugar de la representación, de la revisión de la torsor; este es el "Tannakian" punto de vista en los que creo.

Answer 2

Si usted mira en el último párrafo de la página 6 aquí, usted puede encontrar la traducción entre el $\text{GL}_n$-torsors y el vector de paquetes.

• X. Zhu. Una introducción a afín Grassmannians y el geométrico Satake de equivalencia. arXiv:1603.05593.

Además, en la geometría algebraica, un vector paquete en un esquema afín $\text{Spec}\,A$ es el mismo que el de un finito proyectiva $A$-módulo. Así que para dar un $\text{GL}_n$-torsor en $D_R$ es la misma para dar un rango de $n$ vector paquete en la $\text{Spec}\,R[[t]]$, que es la misma para dar un finito proyectiva $R[[t]]$-módulo de $L$ de la fila $n$. Ahora la trivialización en $D_R^*$ significa un isomorfismo$$L \otimes_{R[[t]]} R((t)) \cong R((t))^n.$$Via this isomorphism, we may regard $L$ as a submodule of $R((t))^n$. Esta es exactamente la definición de una celosía.