¿Es caótica la pérdida de significado?

Question

Esta imagen en Wikipedia originalmente tomado de esta respuesta de Math.SE muestra $(x - 2)^9$ en forma expandida y factorizada, trazada con una computadora usando aritmética de punto flotante.

La imagen muestra la dramática pérdida de significado debido a la cancelación de la expresión expandida, $x^{9} - 18 x^{8} + 144 x^{7} - 672 x^{6} + 2016 x^{5} - 4032 x^{4} + 5376 x^{3} - 4608 x^{2} + 2304 x - 512$ .

Lo que me interesa, sin embargo, es que en esta trama, el error exacto en cualquier punto dado parece ser de naturaleza aleatoria/fractal. También parece haber un hueco cerca del lado derecho del gráfico, lo cual me da curiosidad. Hice mi propia versión de este gráfico usando numpy y matplotlib, y no vi tal brecha:

Aquí está la misma trama ampliada unas cuantas veces en una ubicación aleatoria, hasta que puedas ver los puntos individuales, para que puedas ver la aparente naturaleza fractal:

Aquí está el código de la trama, si alguien está interesado

from sympy import symbols, lambdify, expand
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

x = symbols('x')
a = lambdify(x, (x - 2)**9, 'numpy')
a = lambdify(x, expand((x - 2)**9), 'numpy')

xvals = xvals = np.linspace(2-0.0000005,2.0000005, 16000)
plt.plot(xvals, a(xvals), linewidth=0.1)
plt.plot(xvals, b(xvals), linewidth=0.1)    

Así que mi pregunta es, ¿hay una explicación matemática para la aparente naturaleza caótica/fractal de la pérdida de significado debido a la cancelación.

EDITAR

Aquí está la misma trama para $(x - 3)^9$

y aquí está la misma trama para $(x - 4)^9$

Esto parece confirmar la idea de H. H. Rugh de que el aumento de la magnitud máxima después de 2 en el primer gráfico se debe a que se pasa una potencia de 2 y se necesita un bit extra para representar el número, ya que el primer gráfico tiene una magnitud aproximadamente uniforme y el segundo tiene un aumento similar para valores superiores a 4.

Answer 1

Más como pensamientos que como rigor: ¡Conspiraciones interesantes! Creo que las tramas corresponden a sumas ponderadas de 9 (¿o 10?) variables aleatorias (probablemente cercanas a las independientes pero no del todo). En cada término, digamos $-18 x^8$ se obtiene un error en el resultado que es como una variable aleatoria en el último dígito binario. Desde $x$ no varía mucho, es bastante homogéneo. Pero en las potencias altas el error varía más rápidamente que en las bajas, por lo que probablemente haya diferentes escalas en la variación (de ahí la estructura "fractal").

Sin embargo, su primera trama muestra un curioso fenómeno cuando se supera el 2. La varianza parece ser multiplicada por aproximadamente 2 (mi suposición), lo que puede estar relacionado con el hecho de que en binario cuando se está por encima de 2 se necesita un dígito más para representar el número $x$ (y sus poderes) así que al final pierdes un dígito de precisión.

Answer 2

Un mensaje es que, para un polinomio con coeficientes enteros, obtendrá mejores resultados tomando el polinomio de Taylor alrededor del entero más cercano. Aún puedes hacer eso para coeficientes racionales o algebraicos muy agradables, después de eso no se puede hacer mucho, me imagino.