Informática $\int_0^\infty\frac{1}{(1+x^{2015})(1+x^2)}$

Question

¿Cómo puedo calcular $$\int_0^\infty\frac{1}{(1+x^{2015})(1+x^2)}\quad?$$

Mi intento: Mirando los límites de la integración veo que debemos inducir algunos $\tan^{-1}(x)$ por lo que si ponemos $\infty$ obtendríamos algo como $\frac{\pi}{2}$ . Pero no estoy seguro de cómo proceder. Las fracciones parciales no dan una buena integral.

Answer 1

Para cualquier $a > 0$ , considere la integral

$$\mathcal{I} = \int_0^\infty \frac{1}{1+x^a} \frac{dx}{1+x^2}$$

Cambiar la variable a $y = \frac1x$ tenemos

$$\mathcal{I} = \int_0^\infty \frac{1}{1+y^{-a}}\frac{1}{1+y^{-2}} \frac{dy}{y^2} = \int_0^\infty \frac{y^a}{1+y^a}\frac{dy}{1+y^2}$$

Sumando las dos expresiones de $\mathcal{I}$ y dividir por $2$ obtenemos

$$\mathcal{I} = \frac12 \int_0^\infty \frac{dx}{1+x^2} = \frac{\pi}{4}$$ independientemente del valor de $a$ .

---

Notas aleatorias

En cuanto a la pregunta de cómo se llega a esta respuesta, la clave es la simetría.

Cuando uno se enfrenta a una integral de aspecto complicado, lo primero que debe hacer es buscar la simetría oculta en la integral.

Para la integral que nos ocupa, el integrando tiene una forma similar y el rango de integración es invariable bajo un cambio de variable de $x$ a $\frac1x$ . En este caso, hay algunas cosas que uno debe comprobar.

1. ¿Las diferentes partes de la integral se anulan entre sí?
2. ¿Pueden combinarse la integral original y la transformada en algo más sencillo?
3. El cambio de la variable a $y = x \pm \frac{\text{const}}{x}$ reduce el integrando a una forma más manejable.

Resulta que la segunda estrategia funciona y el resto es sobre todo seguir el olfato.

Answer 2

SUGERENCIA:

Hacer que se cumpla la sustitución $x\to 1/x$ y combinar los resultados.

ALERTA DE SPOILER: Desplázate por la zona resaltada para ver la solución.

Ejecución de la sustitución $x\to 1/x$ revela $$\begin{align}I&=\int_0^\infty \frac{1}{(1+x^{2015})(1+x^2)}\,dx\\\\&=\int_0^\infty \frac{x^{2015}}{(1+x^{2015})(1+x^2)}\,dx\tag 1\end{align}$$ Sumando los lados derecho e izquierdo de $(1)$ y dividiendo por $2$ rinde $$I=\frac12\int_0^\infty \frac{1}{1+x^2}\,dx=\pi/4$$