Si $f(x+1)+f(x-1)=\sqrt 3 f(x), \forall x$ $f$ es periódica.

Question

Si $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tal que $f(x+1)+f(x-1)=\sqrt 3 f(x), \forall x$ $f$ es periódica.

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He intentado reemplazar $x$ $x+1, x-1$ en la igualdad, para conseguir algo como $f(x + k)=f(x)$ pero sin éxito.

Cualquier ayuda es apreciada.

Answer 1

Fijar un $x \in \Bbb R$.

Definir $a_n = f(x+n)$, $n \in \Bbb N$.

Tenga en cuenta que $a_n$ satisface la recurrencia relación $a_{n+1} = \sqrt{3} a_n - a_{n-1}$. Por la teoría general de las relaciones de recurrencia resulta que $a_n=c_1 r_1^n + c_2 r_2^n$ donde $r_1,r_2$ son las raíces de la ecuación cuadrática $r^2-\sqrt{3}r+1=0$.

Pero tenga en cuenta que $r_1,r_2$ son números complejos con norma 1 (específicamente, $\pm e^{i\pi/6}$). Por lo tanto sigue que $a_n = A\cos (\pi n/6) + B \sin(\pi n /6)$. Así se puede concluir que $a_{n+12}=a_n$ $n$ todos, es decir, el $f(x+12)=f(x)$.

Answer 2

De la ecuación dada, $$f(x+4)=\sqrt{3}f(x+3)-f(x+2),\\\sqrt{3}f(x+3)=3f(x+2)-\sqrt{3}f(x+1),\\f(x+2)=\sqrt{3}f(x+1)-f(x).$$ Adding those, we obtain that $$f(x+4)=f(x+2)-f(x),$$ and also $$f(x+6)=f(x+4)-f(x+2),$$ therefore $f(x+6) =-f (x) $. Hence, $$f(x+12)=-f(x+6)=f(x),$$ therefore $f $ is periodic with period $ 12$.

Answer 3

Deje la % $ $$f(x+1) +f(x-1)=\sqrt3 f(x)$$x=x+1$y $x=x-1$ $$f(x+2) + f(x)=\sqrt3 f(x+1)$ $$$f(x) + f(x - 2)=\sqrt3 f(x-1)$ $Adding lo anterior conseguimos $$f(x+2) + f(x - 2)+ 2f(x)=\sqrt3(f(x+1) +f(x-1))$ $$$=3f(x)$ $$$f(x+2) + f(x - 2)=f(x)$ $Letting $x=x+2$ en $$f(x+4) + f(x)=f(x+2)=f(x)-f(x-2)$ $