Suma de los restos de números triangulares

Question

Deje $p=8k+7$ ser un número primo, probar que:

$$\sum_{k=1}^{p-1} \left\{ \frac{2T(k)}{p}\right\} = \sum_{k=1}^{p-1} \left\{ \frac{k}{p}\right\}$$

donde $T(k)$ $k-$th Triangular número y $\{\frac{k}{p}\}$ es la parte decimal de $\frac{k}{p}$.

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Es bastante fácil darse cuenta de que el lado derecho es igual a $\frac{p-1}{2}$, como todas las fracciones están a menos de 1, pero estoy teniendo problemas con el lado izquierdo. Es fácil notar que los términos son simétricas respecto de la $\frac{p-1}{2}$ plazo, pero eso es todo lo que he encontrado. He intentado escribir $2T(n) = n(n+1) = n^2 + n = (n+1)^2 - (n+1)$, pero nada de esto me ayudó.

También es fácil notar que: $\{\frac{i}{p}\} = \frac{x}{p}$ donde $x$ es el resto al $i$ se divide por $p$. He intentado un montón de ejemplos, pero no puedo ver una correlación entre estos números. También como la suma de los $x$'s es menor que $p^2$ traté de trabajo modulo $p^2$ y demostrando que su suma es igual a $\frac{p(p-1)}{2}$, pero de nuevo sin éxito.

De hecho, yo no puede hacer uso del hecho de que $p$ es de la forma, ya que parece que para los números primos distintos de los de la de dar forma a la identidad no tiene.

Answer 1

Este problema parece estar ligada con la forma de las plazas se distribuyen cuando se divide $\{1 \ldots p-1\}$$8$.

En primer lugar, $2T(n) = n^2+n = (n+\frac 12)^2- \frac 14$ (recordemos que el modulo $p$, $\frac 12 = \frac{p+1}2$ y $\frac 14 = \frac{p+1}8$).

Puesto que cada valor distinto de cero / cuadrado triangular número no es igual a $-\frac 14$ es obtenido dos veces, la diferencia entre las dos sumas es la diferencia entre la suma del valor distinto de cero plazas (traducido por $-\frac 14$) y la suma de los nonsquares (también traducida).

Split $(\Bbb Z/p \Bbb Z)^*$ $8$ partes, $A_0 = \{1 \ldots \frac{p-7}8\}$,
$A_i = \{i\frac{p+1}8 \ldots (i+1)\frac{p+1}8-1\}$ $i=1 \ldots 6$ , y
$A_7 = \{7\frac{p+1}8 \ldots p-1 \}$.

$A_1$ $A_7$ ha $\frac {p-7}8$ elementos, y el otro $6$ ha $\frac {p+1}8$ elementos (así que una más), para un total de $\frac{2p-14+6p+6}8 = p-1$.

Deje $R_i$ ser los cuadrados de los residuos en $A_i$, $N_i = A_i \setminus R_i$ ser la nonresidues, y si $R$ si alguno de esos conjuntos, denotan $\#S$ $S(R)$ el cardenal y la suma (no el modulo $p$) $R$ respectivamente.
Tenemos $\# R_i + \# N_i = \# A_i = (p-7)/8$ o $(p+1)/8$ según $i$,
y $S(R_i) + S(N_i) = S(A_i)$, lo que también puede ser explícitamente computarizada (pero no vamos a necesitar)

El LHS es$- \frac 14$, más del doble de la suma de los cuadrados traducido por $-\frac{p+1}4$. Así que si un cuadrado $s$ $R_i$ $i>1$ contribuye a la $s- \frac{p+1}4$, y si es en un $R_i$ $i \le 1$ contribuye a la $s+\frac{3p-1}4$.

Y así LHS es $\frac{3p-1}4 + 2\sum S(R_i) + (\#R_0+\#R_1)\frac{3p-1}2 - (\#R_2+\ldots+\#R_7)\frac{p+1}2$
El lado derecho es la suma de todos, así es $\sum S(R_i) + \sum S(N_i)$.

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Ahora, hacemos uso de ese $p = 7 \pmod 8$, lo que significa en términos de plazas, que $-1$ no es un cuadrado y que $2$ es un cuadrado.

Por lo tanto, la multiplicación por $-1$ es un bijection entre el$A_i$$A_{7-i}$, y los interruptores de plazas con nonsquares.

Esto implica, sobre las sumas, que $S(R_i) + S(N_{7-i}) = p\# R_i$$i=0\ldots 7$.

Sumando los $8$ ecuaciones podemos reescribir la RHS como $p \sum \# R_i$
La resta de la LHS de que su diferencia
$\Delta = \frac{3p-1}4 + 2\sum S(R_i) + (\#R_0+\#R_1)\frac{p-1}2 - (\#R_2+\ldots+\#R_7)\frac{3p+1}2$

Como para los cardenales, obtenemos $\# R_i = \# N_{7-i}$$i=0\ldots 7$.
La combinación de este con el conocimiento acerca de la $\# A_i$,$\# R_0 + \# R_7 = (p-7)/8$, e $\# R_1 + \# R_6 = \# R_2 + \# R_5 = \# R_3 + \# R_4 = (p+1)/8$

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Siguiente, la multiplicación por $2$ es un bijection entre el $A_i \cup A_{i+4}$ $A_{2i} \cup A_{2i+1}$ que mantiene plazas y nonsquares.

Sobre las cantidades, obtenemos :
$ 2S(R_i) + 2S(R_{4+i})-p\#R_{4+i} = S(R_{2i}) + S(R_{2i+1})$ $i=0 \ldots 3$

Sumando los $4$ ecuaciones da $\sum S(R_i) = p (\# R_4 + \ldots + \#R_7)$

Conectando en $\Delta$ tenemos $\Delta = \frac{3p-1}4 + (\#R_0+\#R_1+\#R_4+ \ldots + \#R_7)\frac{p-1}2 - (\#R_2+\#R_3)\frac{3p+1}2 $

Ahora, de los cardenales, obtenemos $\# R_i + \# R_{4+i} = \# R_{2i} + \# R_{2i+1}$ $i=0 \ldots 3$, que pueden resumirse de la $\#R_1 = \#R_4, \#R_2 + \#R_3 = \#R_4 + \#R_5, \#R_6 = \# R_3$

Usando las ecuaciones anteriores obtenemos $\#R_1 = \# R_2 = \#R_4$$\# R_3 = \# R_5 = \# R_6$, (y que la suma de esas dos cantidades es $\frac{p+1}8$)

Y así $\Delta = \frac{3p-1}4 + ((\#R_0+\#R_7)+2(\#R_1+\#R_3))\frac{p-1}2 - (\#R_1+\#R_3)\frac{3p+1}2 $
$= \frac{3p-1}4 + (\#R_0+\#R_7)\frac{p-1}2 - (\#R_1+\#R_3)\frac{p+3}2 $
$= \frac{3p-1}4 + \frac{(p-7)(p-1)}{16} - \frac{(p+1)(p+3)}{16}$
$= \frac{3p-1}4 + \frac{-12p+4}{16} = 0$

Answer 2

Deje $p$ ser un número primo, entonces $$\sum_{k=1}^{p-1} \left\{ \frac{k^2+k}{p}\right\} = \frac{1}{p}\sum_{j=1}^{p-1} j\left({4j+1\over p}\right)+\frac{p-1}{2}.$$ De hecho, vamos a $r_n(m)$ ser el resto de la división de $m$ $n$ $$\sum_{k=1}^{p-1} \left\{ \frac{k^2+k}{p}\right\} ={1\over p}\sum_{k=1}^{p-1} r_p(k^2+k)$$ Tenga en cuenta que $r_p(k^2+k)=j$ algunos $j\in\{1,\dots,p-1\}$ fib $k^2+k=j$ (mod $p$), que es el fib $\Delta=1+4j$ es un cuadrado modulo $p$ fib $\left({4j+1\over p}\right)=1$ donde $\left({\cdot \over p}\right)$ es el símbolo de Legendre. Por lo tanto el número de $k\in\{1,\dots,p-1\}$ tal que $r_p(k^2+k)=j$ $\left(\left({4j+1\over p}\right)+1\right)$ da $0$ o $2$) y $$\sum_{k=1}^{p-1} r_p(k^2+k)= \sum_{j=1}^{p-1} j\left(\left({4j+1\sobre p}\right)+1\right)= \sum_{j=1}^{p-1} j\left({4j+1\sobre p}\right)+\frac{p^2-p}{2}. $$

Ahora supongamos que $p$ es congruente a 7 modulo 8. Por la fórmula anterior, con el fin de demostrar el problema propuesto, es suficiente para mostrar que $$S_1=\sum_{j=0}^{p-1} j\left({4j+1\over p}\right)=0.$$

Vamos \begin{align*} &A=\sum_{j=0}^{p-1} j\left({j\over p}\right), \ \ \ \ \ \ \ B=\sum_{j=0}^{p-1} \left({j\over p}\right),\\ &U_i=\sum_{j=0}^{p-1} j\left({2j+i\over p}\right), V_i=\sum_{j=0}^{p-1} \left({2j+i\over p}\right) \mbox{for %#%#%},\\ &S_i=\sum_{j=0}^{p-1} j\left({4j+i\over p}\right), T_i=\sum_{j=0}^{p-1} \left({4j+i\over p}\right) \mbox{for %#%#%}. \end{align*} A continuación, $i=0,1$ porque $i=0,1,2,3$ no divide $B=V_i=T_i=0$ $p$ (ver esta). Por otra parte $2$ (mod $4$) implica $$\left({-1\sobre p}\right)=(-1)^{(p-1)/2}=-1\quad\mbox{y}\quad \left({2\sobre p}\right)=(-1)^{\lfloor(p+1)/4\rfloor}=1.$$ Ahora, $p\equiv 7$ y \begin{align*} \sum_{r=0}^{2p-1} r\left({r\over p}\right)&= \sum_{i=0}^1\sum_{j=0}^{p-1}(2j+i)\left({2j+i\over p}\right) =2U_0+2U_1+V_1=2A+2U_1,\\ \sum_{r=0}^{2p-1} r\left({r\over p}\right)&= \sum_{i=0}^1\sum_{r=0}^{p-1} (ip+r)\left({ip+r\over p}\right) =A+pB+A=2A, \end{align*} lo que implica que $8$. Por otra parte \begin{align*} \sum_{r=0}^{4p-1} r\left({r\over p}\right)&= \sum_{i=0}^3\sum_{j=0}^{p-1}(4j+i)\left({4j+i\over p}\right) =4S_0+4S_1+4S_2+4S_3+T_1+T_2+T_3=4A+4S_1+4S_3,\\ \sum_{r=0}^{4p-1} r\left({r\over p}\right)&= \sum_{i=0}^3\sum_{r=0}^{p-1} (ip+r)\left({ip+r\over p}\right) =A+pB+A+2pB+A+3pB+A=4A, \end{align*} lo que implica que $U_0=S_0=A$. Finalmente \begin{align*} S_1 &=\sum_{j=1}^{p-1} j\left({4j+1\over p}\right) =\sum_{j=1}^{p-1} (p-j)\left({4(p-j)+1\over p}\right) =-p\sum_{j=1}^{p-1}\left({4j-1\over p}\right) +\sum_{j=1}^{p-1}j\left({4j-1\over p}\right)\\ &=-(p-1)\sum_{j=0}^{p-2}\left({4j+3\over p}\right) +\sum_{j=0}^{p-2}j\left({4j+3\over p}\right)\\ &=(p-1)\left({-1\over p}\right)-(p-1)T_3-(p-1)\left({-1\over p}\right)+S_3=S_3 \end{align*} y obtenemos que $S_2=U_1=0$.