¿Pueden cubrir dos espacios topológicos mutuamente?

Question

I. e. ¿existen no homeomórficos $X$, $Y$ y cubriendo los mapas $f:X\rightarrow Y$, $g: Y\rightarrow X$?

Tengo una comprensión básica de cubrir el espacio de la teoría de como se enseña en la escuela.

Me inspiré en esta pregunta Dos, cubriendo los espacios que cubren cada uno de los otros son equivalentes?

He hecho algunas de las cosas que iba a hacer, mirando lo que sucede con los grupos. Y he tratado de encontrar contador ejemplos de dibujo de gráficos.

Answer 1

La respuesta es sí y X y y pueden ser incluso las superficies.

Deje $X_1$ ser el doble perforado toro, $X_2$ 4 perforado esfera, $Y_1$ una vez perforado el toro, y $Y_2$, tres veces perforado esfera.

Aquí es una prueba de que cualquiera de las $X_1$ $Y_1$ mutuamente cubrir cada uno de los otros, o $X_2$ $Y_2$ mutuamente cubrir cada uno de los otros. Tenga en cuenta que hay una natural 2 sábana cubriendo de$X_1$$Y_1$, y, asimismo, para $X_2$ $Y_2$ por lo que solo necesitamos establecer la otra dirección.

Ahora $\pi_1(X_i) = F(3)$ $\pi_1(Y_i) = F(2)$ donde $F(n)$ es el grupo en $n$ generadores. Tenga en cuenta que $F(2)$ natural subgrupo de $F(3)$, por lo que la correspondencia entre los subgrupos del grupo fundamental y cubriendo los espacios, garantizando que no es cubrir el espacio de cada una de las $X_i$ que tiene grupo fundamental de la $F(2)$, y desde $X_i$ es la superficie que cubre el espacio también debe ser una superficie.

Es bastante sencillo ejercicio de un curso de introducción sobre el grupo fundamental para demostrar que el grupo fundamental de un género $g$ de la superficie con $m$ pinchazos es $F(m+2g-1)$. Una menos obvia observación es que el grupo fundamental de un no-perforado de la superficie no es libre. Aquí hay un enlace con unas cuantas pruebas de este hecho, la mayoría no es que la primaria por desgracia.

Esto nos dice que $Y_1$ $Y_2$ son las únicas superficies que han $\pi_1 = F(2)$. Esto significa que cualquiera de $Y_1$ o $Y_2$ cubre $X_1$, y lo mismo sucede con $X_2$. Obviamente si $Y_1$ cubre $X_1$ o $Y_2$ cubre $X_2$ hemos terminado, ya que mutuamente cubrir uno del otro y no homeomórficos. Así que asumir por el bien de la contradicción que ninguno de los revestimientos de existir.

Esto implica que $Y_1$ debe cubrir $X_2$ $Y_2$ debe cubrir $X_1$. Pero la composición de las tapas de las $Y_1$ a $X_2$, $X_2$ a $Y_2$, e $Y_2$ $X_1$da una cobertura de mapa de $Y_1$ $X_1$lo cual es una contradicción.

Por lo tanto la una y dos veces perforado tori cubrir cada uno de los otros o el 3 y 4 de perforado esferas hacer. (Mi dinero está en las esferas, pero puedo estar equivocado).

Lamentablemente esta prueba no es estrictamente constructivo como sólo le da 2 posibles pares de espacios. Si alguien tiene una simple prueba, o una más constructiva ejemplo (o si se puede descartar uno de los dos, o demostrar que es tanto) que sería impresionante.