Si $n$ es un entero, entonces $4$ no divida $n^2 - 3$

Question

Tiene algunos problemas para probar esto. Iba a atacar con el uso de la contrapositive de esta declaración, pero no parecen indicar que $n$ no es un entero.

Answer 1

Para un entero $n$,

$$n^2 \equiv 0,1 \pmod 4$$

y el resultado sigue.

Answer 2

Solo tienes que buscar en dos casos: $n$ es impar y $n$ es uniforme.

• Si $n$ es par, entonces $n \equiv 0 \textrm{ or } 2 \pmod 4$ $n^2 \equiv 0 \pmod 4$ cueste lo que cueste, que significa que el $n^2 - 3 \equiv 1 \pmod 4$ y por lo tanto el $$\frac{n^2 - 3}{4} = m + \frac{1}{4},$$ where $m $ is some integer. For example, $n = 10 $ gives us $ 24,25$.
• Si $n$ es impar, entonces $n \equiv 1 \textrm{ or } 3 \pmod 4$ $n^2 \equiv 1 \pmod 4$ cueste lo que cueste, lo que significa que el $n^2 - 3 \equiv 2 \pmod 4$ y por lo tanto $$\frac{n^2 - 3}{4} = m + \frac{1}{2},$$ where $m $ is some integer. For example, $n = 11 $ gives us $ 29,5$.

Answer 3

Creo que la manera más fácil es por la simple manipulación algebraica. Dado un número entero $k$, si $n = 2k$ (lo que significa que el $n$ es incluso), a continuación, $n^2 - 3 = 4k^2 - 3$; Si $n = 2k + 1$ (es decir $n$ es impar), a continuación, $n^2 - 3 = 4k^2 + 4k - 2$. Observe que $4k^2$ y $4k^2 + 4k$ son ambos múltiplos de 4, mientras que $4k^2 - 3$ y $4k^2 + 4k - 2$ no.

Answer 4

caso 1: $n$ es incluso $n^2$ es divisible por $4.\: n^2 - 3$ no es divisible por $4.$

caso 2: $n$ es impar

$n^2 - 3 = (n^2 - 1) - 2 = (n+1)(n-1) - 2$

Si $n$ % impar $(n+1)(n-1)$es divisible por $4$ y $(n+1)(n-1) - 2$ no puede ser divisible por $4.$

Answer 5

Si $n$ incluso, entonces $n^2$ es un múltiplo de 4, por lo tanto, $n^2 - 3$ no es.

Si $n$ es impar, luego escribe $$M = n^2 - 3 = [(n-1)(n+1)] - 2.$$ The product in []'s is a product of two even numbers, hence is a multiple of 4. Therefore, $$ %M dará un resto 2 cuando se dividen por 4.