Conjuntos infinitos y los números naturales

Question

Es posible encontrar dos conjuntos infinitos de enteros no negativos, $A,B$, de tal forma que cada entero no negativo, puede escribirse de forma única como suma de dos enteros, uno de $A$ y el otro de $B$?

Es fácil hacer esto, si dejamos que un conjunto es finito. Por ejemplo, tome $A=\{0,1\}$ y deje $B$ el conjunto de no-negativos números enteros. Se puede hacer con dos conjuntos infinitos?

Comentario: los supuestos implican que $A\cap B=\{0\}$. De hecho, la única manera de escribir $0$ como la suma de dos enteros no negativos es $0=0+0$ $0$ debe ser en ambos. Pero entonces, si se tenía un no-cero $n\in A\cap B$, entonces podríamos escribir $n=n+0=0+n$, contradiciendo la unicidad de la descomposición.

Answer 1

Tomar la descomposición en base $2$ (o su número favorito), cualquier $n \geq 0$ puede ser escrito de una manera única como $\sum_{k=0}^{m} a_k 2^k$. Ahora separar entre potencias pares e impares, $$n = \sum_{k=0}^{\lfloor \frac{m}{2} \rfloor} a_{2k} 2^{2k} + \sum_{k=0}^{\lfloor \frac{m-1}{2} \rfloor} a_{2k+1} 2^{2k+1}

Tomar $A$ a los enteros que son la suma de poderes incluso de $2$ (y $0$) y $B$ de potencias (pares e impares $0$), es decir $$A = \{ \sum_{k=0}^m a_k 2^{2k} \mid m \geq 0, (a_0,\ldots,a_m) \in \{0,1\}^{m+1} \} \cup \{0\}$ $$$ B = \{ \sum_{k=0}^m a_k 2^{2k+1} \mid m \geq 0, (a_0,\ldots,a_m) \in \{0,1\}^{m+1} \} \cup \{0\}

Entonces seguramente $A \cap B = \{ 0 \}$, cualquier $n \geq 0$ puede ser escrito como un elemento de $A + B$ y esta suma es única porque es de descomposición en base $2$.