Accidentes de pequeñas $n$

Question

Al estudiar matemáticas, a veces me encuentro con ejemplos de hechos generales que valen para todos $n$ mayor que algún número pequeño. Uno de ellos es el teorema de Abel-Ruffini, que afirma que no existe una solución algebraica general para los polinomios de grado $n$ excepto cuando $n \leq 4$ .

Parece que hay muchos ejemplos interesantes de estos accidentes especiales de estructura que se producen cuando los objetos en cuestión son "suficientemente pequeños", y me interesaría ver más de ellos.

Answer 1

Puede que le guste el artículo La fuerte ley de los números pequeños por Richard K. Guy.

Tiene otras publicaciones en las que recicla en parte el título.

Answer 2

Otro accidente de pequeña dimensión: en todas las dimensiones $\gt 4$ En dos dimensiones, sólo hay tres politopos regulares: el simplex, el hipercubo y el politopo cruzado (el dual del hipercubo). En dos dimensiones hay infinitos (todos los $n$ -); en tres dimensiones tienes dos poliedros adicionales, el dodecaedro y el icosaedro; y en cuatro dimensiones hay tres adicionales, el de 120 células y el de 600 células (que son duales entre sí) y el de 24 células (que es autodual).

Answer 3

El grupo de automorfismo externo de $S_n$ es trivial, excepto cuando $n=6$ .

Answer 4

Los 26 grupos esporádicos son también un hecho "accidental". Dado que hay un número finito de ellos, después de algún N grande, todos los grupos simples de orden N o mayor encajan en una categoría determinada.

Answer 5

El $n^\mathrm{th}$ polinomio ciclotómico es el polinomio mínimo cuyas raíces son las primitivas $n^\mathrm{th}$ raíces de la unidad, es decir

$$\Phi_n(X) = \prod_{ {0\leq j < n} \atop {\gcd(j,n)=1}}(X - e^{2\pi i j / n})$$

Los primeros ejemplos son: $$\Phi_1(X) = X - 1 $$ $$\Phi_2(X) = X + 1 $$ $$\Phi_3(X) = X^2 + X + 1$$

Para todos $n$ suficientemente pequeño, todos los coeficientes son $\pm 1$ o $0$ . Pero si al menos tres primos Impares dividen $n$ (que requiere al menos $n\geq3\cdot5\cdot7 = 105$ ), son posibles otros coeficientes.