Verdadero o falso: si es continua en $f(x)$$[0, 2]$ y $f(0)=f(2)$, entonces existe un número $c\in [0, 1]$ tal que $f(c) = f(c + 1)$.

Question

Yo estaba resolver los últimos exámenes del curso de cálculo y he encuentro con un problema, que yo no podía entender cómo resolver.La pregunta es la siguiente;

Demostrar que si la sentencia dada es verdadera o falsa:
Supongamos que $f(x)$ es continua en a$[0, 2]$$f(0)=f(2)$. Entonces existe un número $c\in [0, 1]$ tal que $f(c) = f(c + 1)$.

Por sólo la lectura de la pregunta, que quiere decir "usar el Valor medio Teorema o teorema de Rolle" pero no sabemos si $f(x)$ es diferenciable en el intervalo de, al menos ahora es dado, por lo que estoy totalmente atascado.Agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

Definir una nueva función en $g(x)=f(x+1)-f(x)$. Observe que $$g(0) = f(1) - f(0)$ $$$ g(1) = f(2) - f(1) = f(0) - f(1) y por lo tanto $g(0) = -g(1)$.

Ahora utilizar el teorema del valor intermedio.

Answer 2

Sugerencia: Considere $\phi(x) = f(x+1)-f(x)$ $[0,1]$.

Tenga en cuenta que $\phi(1) = - \phi(0)$.