¿Qué hay de malo en mi cálculo del grupo de nudos del trébol?

Question

Conozco el método estándar para calcular el grupo de nudos de un trébol $K$ considerándolo como un nudo toro (2,3). Pero aquí encuentro un método que da $\pi_1 ( \mathbb {R}^3-K) \cong\mathbb {Z}$ lo cual es imposible. La cuestión es que no puedo averiguar qué paso está mal $\dots$

Aquí está mi cálculo:

Elija seis puntos $\{A_1, \dots ,A_6\} \subset K$ como se muestra en la foto. Podemos incrustar $K$ en $\mathbb {R}^3$ de tal manera que:

(1) $A_k \in\mathbb {R}^2 \times\ {0\}$para todos$k$ ;

(2) Para $k$ impar, los arcos $A_kA_{k+1}$ sin que los puntos finales se encuentren en $\{x_3< 0\} \subset\mathbb {R}^3$ ;

(3) Para $k$ incluso, los arcos $A_kA_{k+1}$ sin que los puntos finales se encuentren en $\{x_3>0\} \subset\mathbb {R}^3$ .

(Estamos de acuerdo $A_7=A_1$ )

Escribimos $U=( \mathbb {R}^3-K) \cap\ {x_3 \leq 0\}$,$V=( \mathbb {R}^3-K) \cap\ {x_3 \geq 0\}$ . Entonces lo hemos hecho:

(1) $\pi_1 (U)= \pi_1 (V)$ es el grupo libre generado por 3 elementos, dado por bucles alrededor de los arcos $A_kA_{k+1}$ ;

(2) $U \cap V= \mathbb {R}^2-\{6pts\}$ Así que $\pi_1 (U \cap V)$ es el grupo libre generado por 6 elementos.

(Por supuesto que podemos reemplazar $U,V$ por un conjunto abierto un poco más grande).

Ahora aplicamos el teorema de Van Kampen.

Deje que $i:U \cap V \to U$ , $j:U \cap V \to V$ ser la inclusión, entonces $\pi_1 ( \mathbb {R}^3-K)$ es isomorfo para el grupo libre $\pi_1 (U)* \pi_1 (V)$ modulo las relaciones $\sim$ dado por $i_*(x)=j_*(x)$ para cada uno $x \in\pi_1 (U \cap V)$ .

Podemos escribir $\pi_1 (U)=<a_1,a_2,a_3>$ , $\pi_1 (V)=<b_1,b_2,b_3>$ donde $a_k$ significa un bucle que gira alrededor $A_{2k-1}A_{2k}$ y $b_k$ corresponde a $A_{2k}A_{2k+1}$ . Escriba también $\pi_1 (U \cap V)=<c_1, \dots ,c_6>$ donde $c_k$ corresponde a los bucles que giran alrededor $A_k$ . Considerando la orientación, tenemos

$$i_*(c_1)=a_1^{ \pm 1}=i_*(c_2)^{-1},\ i_*(c_3)=a_2^{ \pm 1}=i_*(c_4)^{-1},\ i_*(c_5)=a_3^{ \pm 1}=i_*(c_6)^{-1};$$ $$j_*(c_6)=b_3^{ \pm 1}=j_*(c_1)^{-1},\ j_*(c_2)=b_1^{ \pm 1}=j_*(c_3)^{-1},\ j_*(c_4)=b_2^{ \pm 1}=j_*(c_5)^{-1}.$$

Luego $\pi_1 (U)* \pi_1 (V)/ \sim$ $\ \ \ $ tiene 6 generadores, cada uno de los cuales es idéntico o inverso al otro!!!

Esto da inmediatamente un grupo isomórfico a $\mathbb {Z}$ .

Entonces, ¿dónde está el error?

Answer 1

Tratando de explicar mi objeción a los cálculos de OP (ver los comentarios) visualmente.

Aquí está el trébol. Lo hice un tubo delgado. Ignora su interior hueco que se ve cuando recorto brutalmente la imagen.

Aquí está la parte superior con los 3 arcos. Esta es una versión engordada del conjunto de OP $V$ . Incluyo los puntos con $x_3>- \epsilon$ . Observen que este "universo" termina al nivel de la parte inferior de los tres arcos.

Aquí está la parte inferior con los 3 agujeros de gusano. Esta es una versión engordada del conjunto de OP $U$ . Incluyo los puntos con $x_3< \epsilon$ . Observen que este "universo" termina al nivel de la cima de los tres agujeros de gusano.

Aquí hay una vista de arriba a abajo de la parte media (engordada) $U \cap V$ junto con un punto base (=el punto negro) y un bucle alrededor del punto $A_1$ es decir, un representante del generador $c_1$ de $\pi_1 (U \cap V)$ .

Esto es lo que la clase de $c_1$ se ve como en $\pi_1 (U)$ . Vemos que podemos deslizar homotópicamente el bucle a lo largo del agujero de gusano $A_1A_2$ . Esto muestra, como la OP afirmó, que $i_*(c_1)$ y $i_*(c_2)$ son o bien homotópicos o homotópicos entre sí, inversamente, dependiendo de cómo los orientemos. Al menos si elegimos el bucle obvio para representar $c_2$ .

Así es como la clase de $c_1$ parece que en el grupo $\pi_1 (V)$ . Obsérvese que porque en este espacio $c_1$ va por debajo del arco $A_4A_5$ no podemos simplemente desliza el lazo a lo largo del arco $A_1A_6$ . Esto significa que $j_*(c_1)$ no es homotópico para $b_3^{ \pm }$ . Necesitamos conjugarlo por $b_2$ para llevarla por encima del arco $A_4A_5$ .

El intento de la OP tiene otros problemas similares en los mapeos $i_*$ y $j_*$ . Trabajar con todos ellos es demasiado trabajo, al menos por ahora. Otra forma de calcular este grupo de homotropía (una forma diferente de usar el teorema de van Kampen) se da por ejemplo en el libro de Massey.

Obsérvese además que si se elige el bucle $c_1$ para dar la vuelta al punto $A_4$ desde el lado oeste, entonces el reclamo de la OP sobre la imagen $j_*(c_1)$ desaparece, pero esta vez aparece un problema similar en la parte inferior, es decir, con $i_*(c_1)$ .

De todos modos, confío en que observaciones como esta expliquen por qué OP consiguió que emergiera el grupo equivocado, y también muestra cómo fijar los cálculos. Espero que esto ayude en esa tarea.