¿Cuál es el área total que pertenece a uno solo de los cuatro círculos unitarios?

Question

Perdone la crudeza de este diagrama.

(Tomé una imagen de algún sitio web de psicología y traté de borrar el círculo más grande que no es relevante para mi pregunta).

Digamos que se trata de cuatro círculos unitarios unidos de tal manera que cada círculo comparte un área con otros dos círculos.

Obviamente, el área total no compartida con otros círculos es cuatro veces el área de este (de nuevo, por favor, disculpen el tosco diagrama)

O podría calcular el área total de un solo "pétalo" y multiplicarlo por $4$ . Pero realmente he olvidado todo el cálculo y la trigonometría que me enseñaron hace más de medio siglo.

¿Estoy en el camino correcto? ¿Hay alguna forma mejor que cualquiera de las dos ideas que he tenido hasta ahora?

P.D. No estoy seguro de que se aplique la etiqueta de círculo oscilante.

Answer 1

Para un solo "pétalo", considera esto:

$$\text{area of petal} = \text{area of square} = \left(\;\sqrt{2}\;r\;\right)^2 = 2 r^2$$

Para la figura completa:

$$\text{total area} \;=\; 4 r^2 + 4\cdot \frac{1}{2} \pi r^2 \;=\; 4 r^2 + 2 \pi r^2$$

Answer 2

Otro enfoque:

Considere el cuadrado encerrado en rojo. Tiene una longitud de lado $r$ y, por lo tanto, el área $r^2$ . Obsérvese que una cuarta parte de dos círculos diferentes se superpone en esta región para crear un único pétalo, que tiene un área $p$ .

Así que tenemos $r^2 = 2\left(\frac{1}{4}\pi r^2\right) - p$ , que se reordena a $p = (\frac{\pi}{2}-1) r^2$

Entonces el área no compartida perteneciente a un solo círculo tiene área $\pi r^2 - 2p = 2r^2$

El área de todo el diagrama es $4\pi r^2 - 4p = (2\pi+4) r^2$

Answer 3

Si el círculo tiene radio $r$ El área del "diagrama negro" es el área del círculo menos el área de dos "pétalos". El área de dos "pétalos" puede obtenerse como el área de un círculo menos el área del cuadrado inscrito. Por lo tanto, el área del diagrama negro es sólo el área del cuadrado inscrito $4(r^2/2))=2r^2.$

P.D. Mi "pétalo" es la intersección de dos círculos.

P.P.S. El diagrama está compuesto por dos círculos completos y dos diagramas negros por lo que su área total es $2\pi r^2+2\cdot 2r^2=(2\pi+4)r^2.$

P.P.P. La imagen lo dice todo:

Answer 4

Dibuja dos líneas desde el centro de un círculo, una hasta el centro del diagrama, otra hasta el centro del diagrama, la otra hasta una punta del pétalo.

Este sector tiene un ángulo de 90 grados. El área del sector = $\frac 14$ el área del círculo o $\frac \pi4 r^2$ Ahora une los extremos, creando un triángulo rectángulo isósceles. El área del triángulo es $\frac 12 r^2.$

$\frac 12$ pétalo = $(\frac \pi4 - \frac 12) r^2$

Hay 8 medios pétalos.

La superficie total es entonces $4 \pi r^2 - 8(\frac \pi4 - \frac 12) r^2 = (2\pi + 4) r^2$

Answer 5

Digamos que los círculos tienen cada uno un radio $1$ . Rotando un poco por comodidad, sus centros podrían estar en $[1,0]$ , $[0,1]$ , $[-1,0]$ , $[0,-1]$ . El área de su región negra es el área de un círculo menos el doble del área común a dos círculos adyacentes. Véase, por ejemplo aquí