En primer lugar, hay que tener en cuenta que la ecuación de Schrödinger puede entenderse como procedente de una acción El lagrangiano es $$L = \int~\mathrm d^3x \,\,\psi^†(x) \left(i \frac{\partial}{\partial t} - \frac{\nabla^2}{2m}\right)\psi(x) - \psi^†(x)\psi(x)V(x)$$
La ecuación de Euler-Lagrange para $\psi^†(x)$ es exactamente la ecuación de Schrödinger. Como la dinámica de $\psi(x)$ están determinados por la mecánica lagrangiana de esta manera, el teorema de Noether se aplica sin ninguna salvedad.^^
En particular, este lagrangiano de Schrödinger tiene un $U(1)$ simetría correspondiente a $\psi(x) \mapsto e^{i\alpha}\psi(x)$ . La correspondiente densidad de corriente de carga conservada es $$\rho = j^0 = \frac{\partial L}{\partial \dot{\psi}}\delta \psi = \psi^†\psi(x)$$ $$\vec{j}^i = \frac{\partial L}{\partial_i\psi}\delta \psi+\frac{\partial L}{\partial_i\psi^†}\delta \psi^†=\frac{i}{2m}\left((\partial^i\psi^†)\psi-\psi^†\partial^i\psi\right),$$ que es la conocida densidad de corriente probabilística.
^^ En la mecánica cuántica no relativista la función de onda $\psi(x)$ es una variable "clásica" en el sentido de que es simplemente una función de espacio y tiempo a $\mathbb{C}$ . El teorema de Noether funciona exactamente igual que en la mecánica clásica. En la teoría cuántica de campos los objetos relevantes $\psi(x)$ se convierten en operadores cuánticos y hay que modificar un poco los argumentos habituales.
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Algo en el fondo de mi mente dice que hay una versión cuántica / retoque del teorema de Noethers, pero espero no llevarte a engaño si la versión clásica funciona. es.wikipedia.org/wiki/Noether%27s_theorem_(desambiguación)