¿Alguien sabe de un geométrica simple ejemplo de la desigualdad de la izquierda y la derecha cosets?
Específicamente estoy buscando un no-grupo abelian que puede ser realizado en $\mathbb{R}^2$ o $\mathbb{R}^3$ cuyos subgrupos y por lo tanto cosets son fáciles de visualizar gráficamente.
Dicha visualización se espera que el hecho de que cosets de la partición del grupo, incluso en la no-abelian caso, más fácil de internalizar.
Lo que he probado hasta ahora:
Sospecho que algo como esto debería ser posible establecer simplemente para uno de los simetría/diedro grupos, aunque no estoy familiarizado con ellos lo suficiente como para pensar fuera de la parte superior de mi cabeza cómo puede hacer esto. Por ejemplo, todos los grupos cíclicos son abelian.
El mejor candidato que parece el diedro grupo de orden 6, ya que es el más pequeño no abelian grupo. Sin embargo, yo realmente no sé cómo visualizar, sus elementos, o su cosets.
https://en.wikipedia.org/wiki/Dihedral_group_of_order_6
Los ejemplos dados aquí para no abelian cosets son todos los no-geométrico, en contraposición a los afín ejemplo de espacio que se presenta facilidad para la abelian cosets.
Tal vez algo utilizando los cosets de SO(3) (rotaciones en $\mathbb{R}^3$) también podría ser posible.
El abelian caso es muy sencillo (y esperemos que se aclare un poco lo que estoy buscando):
Afín espacios son precisamente los cosets de espacios vectoriales, cuando se la considera como abelian grupos, bajo su operación de adición.
(Ver, por ejemplo, la Wikipedia: https://en.wikipedia.org/wiki/Affine_space#Examples)
http://groupprops.subwiki.org/wiki/Left_coset_of_a_subgroup#Examples_in_abelian_groups
Esto conduce a una visual agradable manera de pensar (abelian) cosets -- como la generalización algebraica de (hiper)planos o líneas que no pasan por el origen. (imagen de Wikipedia)
Estoy buscando una manera similar visual agradable/geométrica manera de pensar no abelian cosets.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
No estoy seguro de que esto es lo que quería ver, pero no abelian es visualizable grupos que me sugieren las rotaciones. Yo uso las rotaciones del cubo para ilustrar. Las imágenes a continuación muestran los resultados finales de los elementos de un determinado subgrupo y su izquierda/derecha cosets que actúan sobre el cubo. A ver como simetrías del grupo, usted necesita se les compara con los "no vivida" cubo (correspondiente a la identidad de los elementos del grupo de simetrías).
He arreglado las cosas para que las animaciones temporalmente puesto que cuando llega a un punto donde tenemos una simetría del cubo. Las rotaciones en-entre los que están allí para hacer el movimiento más fácil de ver.
La primera animación muestra los poderes de una rotación de 90 grados $R$ acerca de uno de los ejes de coordenadas.
Pensó de manera diferente, la animación muestra (gradual) de las transiciones $R^i\to R^{i+1}$ para los números naturales $i$. Debido a $R$ es de orden cuatro, la secuencia se repite periódicamente.
La siguiente animación muestra un subgrupo cíclico $K$ consta de rotaciones sobre una imagen en 3D de la diagonal del cubo. Cuando se ve como un grupo de simetrías $K$ tiene tres elementos (cuando el ángulo de rotación es un múltiplo de 120 grados). A continuación voy a indicar esta generación de 120 grados de rotación por $S$, por lo que esta animación muestra las transiciones $S^i\to S^{i+1}$ para los números naturales $i$.
Los siguientes tres animaciones muestran los cosets de $K$ determinado por el no-trivial potencias $R,R^2,R^3$. La idea es que el cubo en un estado inicial fue la primera gira por $R^j, j=1,2,3,$ y, a continuación, la animación muestra el efecto del subgrupo $K$ sobre el que gira el cubo. Para mis propósitos, estos son de izquierda cosets $R^jK$$K$, porque yo a preparar las cosas para que las simetrías actuar en el cubo de la derecha, y, en consecuencia, aquí una potencia de $R$ se aplica por primera vez. De izquierda a derecha, verá las transiciones $RS^{i}\to RS^{i+1}$, $R^2S^{i}\to R^2S^{i+1}$ $R^3S^i\to R^3S^{i+1}$ (algo sincronizado).
Todas estas transiciones parecen ser rotaciones sobre el mismo 3D-diagonal, pero los colores de las caras visibles indican que en realidad son distintas como las simetrías del cubo. Algebraicamente esto se explica por el hecho de que para obtener de $R^jS^i$ $R^jS^{i+1}$acabamos de aplicar la rotación $S$, y esto no depende de la elección de la coset $R^jK$.
El último conjunto de animaciones, a continuación, se muestra la misma con derecho cosets $KR^i,i=1,2,3$. Porque este primer momento, se realizan las rotaciones en $K$ y sólo el aplicar una potencia de $R$ la impresión visual es la de un cubo giratorio sobre un 3D-diagonal.
Esta vez podemos ver transiciones animadas de $S^iR^j$ a $S^{i+1}R^j$ (de nuevo, $j=1,2,3$ de izquierda a derecha), por lo que la cantidad de transiciones para la multiplicación (de la derecha!) por $R^{-j}SR^j$. Como vemos, esas simetrías son de 120 grados de rotaciones 3D-diagonales del cubo.
ADVERTENCIA Estos cosets no son subgrupos a pesar de que mi animación puede sugerir lo contrario. Que es un producto de mi elección para identificar un elemento del grupo de simetría del cubo como el de la imagen conseguido por dejar que el elemento de actuar en el cubo. Por ejemplo, para obtener el subgrupo de las rotaciones alrededor de un 3D-diagonal necesita conjugados de $K$ como $R^iKR^{-i}$.
