¿La temperatura es siempre la media de alguna cantidad?

Question

Sé que para un gas ideal se puede demostrar que la energía cinética media se puede escribir como

$$\langle K\rangle= \dfrac{1}{2}k_B T.$$

Por tanto, para un gas ideal, la temperatura puede identificarse con la energía cinética media de las partículas que componen el sistema.

Ahora bien, por supuesto no todo es un gas ideal. Hay muchos otros sistemas que tratamos en la Mecánica Estadística como los gases cuánticos, los materiales magnéticos e incluso los agujeros negros.

Entonces, en el caso general de la Mecánica Estadística, ¿la temperatura es la media de algo? Si eso es cierto, ¿de qué es la temperatura la media?

EDITAR : La cuestión es que la temperatura suele definirse como

$$T = \dfrac{\partial U}{\partial S},$$

y esto no refleja que $T$ es la media de algo. Así, si $T$ es la media de algo, ¿qué es ese algo y cómo se relaciona con esta definición?

El punto principal de la pregunta es que pensar en algo como la media de una determinada cantidad nos permite conocer mejor ese algo. Por ejemplo, en el caso del gas ideal que presenté, nos permite justificar el pensar en $T$ como medida de agitación de los componentes del sistema.

Ahora, quería entender cómo pensamos en $T$ como una media en el caso general - tanto en la mecánica clásica como en la cuántica con un sistema arbitrario.

Answer 1

En realidad, la temperatura tiene una definición muy precisa en la mecánica estadística. Si nuestro sistema tiene energía $U$ , la entropía $S$ y $N$ grados de libertad, definimos la temperatura $T$ tal que $$\left(\frac{\partial S}{\partial U}\right)_{N}\equiv\frac{1}{T}.$$ El hecho de que para el modelo cinético del gas ideal se hable de temperatura en términos de energía media proviene de un resultado llamado teorema de equiparación que establece que para cualquier grado de libertad $x_n, x_m$ de un sistema en equilibrio con algún depósito a temperatura $T$ (llamamos a la descripción de este tipo de sistema un conjunto canónico ), podemos escribir $$\left\langle x_n\frac{\partial H}{\partial x_m}\right\rangle=\delta_{mn}k_BT,$$ Donde $H$ es el Hamiltoniano de nuestro sistema. Aplicando esto a un gas ideal compuesto por $N$ partículas de masa $m$ con momentos $p_i, i=1,2,... ,3N$ es decir, un momento por cada dirección en la que se puede mover cualquier partícula, podemos escribir el hamiltoniano de nuestro sistema como (con suma implícita) $$H=\frac{p_ip_i}{2m},$$ y por lo tanto $$\left\langle p_i\frac{\partial H}{\partial p_j}\right\rangle=\left\langle p_i\frac{p_j}{m}\right\rangle=\delta_{ij}k_BT.$$ Mirando sólo a $i=j$ , obtenemos que $$\left\langle \frac{p_i^2}{m}\right\rangle=k_BT.$$ Suma de las tres dimensiones de una sola partícula: $$\sum_{i=1}^{3}\left\langle \frac{p_i^2}{m}\right\rangle=2\langle K\rangle=3k_BT$$ $$\langle K\rangle=\frac{3}{2}k_BT,$$ que es el resultado que obtenemos de la teoría cinética.

Answer 2

Esto es cierto para todas las magnitudes termodinámicas macroscópicas, no sólo para la temperatura: son la media de algunas propiedades microscópicas del sistema. Esta es la conexión fundamental entre la mecánica estadística y la termodinámica. Esta conexión es la base de la función de partición formalismo para hacer mecánica estadística/termodinámica.

Answer 3

Lo que la temperatura es fundamentalmente es una medida de la energía que se necesitaría añadir a un depósito a T para aumentar el número de estados a los que tiene acceso en un factor e. Este hecho puede verse en el "factor Boltzmann", e^(E/kT), que mide la relación del número de estados disponibles para el depósito con y sin energía extra E. Así, es útil darse cuenta de que una temperatura es realmente una propiedad de un depósito con el que un sistema está en contacto, ya sea en la realidad o en nuestra imaginación: decimos que un sistema está a T si no pasa calor de un depósito (posiblemente hipotético) a T con el que el sistema podría entrar en contacto. Todos los depósitos a la misma T tampoco tienen calor que pase entre ellos (es la ley zeroth de la termodinámica).

Por cierto, aunque no importa, la energía cinética media por partícula es 3/2 kT, no 1/2 kT.

Answer 4

La expresión $\langle K\rangle= \dfrac{3}{2}k_B T$ relaciona la temperatura con la energía cinética media de una partícula de gas ideal. Esto se generaliza mal a otros sistemas que son colecciones heterogéneas de partículas, ya que no está claro sobre qué conjunto estaría el promedio correspondiente. Consideremos un metal formado por una red de iones vibrantes con un mar de electrones. ¿Su hipotética generalización vincularía $T$ a alguna propiedad media de los electrones, o a alguna propiedad media de los iones?

Una solución es reconocer que la energía cinética de una partícula de gas ideal proviene de tres grados de libertad (movimiento en las direcciones x,y,z). Los tres grados de libertad comparten la energía cinética por igual, por lo que podemos escribir: $\langle \frac{1}{2} m v_x^2 \rangle=\langle \frac{1}{2} m v_y^2 \rangle = \langle \frac{1}{2} m v_z^2 \rangle = \dfrac{1}{2}k_B T$ . Ahora bien, el concepto de grados de libertad sí se generaliza a otros sistemas termodinámicos (al menos los clásicos). La generalización viene dada por el teorema de equipartición que dice $\left\langle x_n\frac{\partial H}{\partial x_m}\right\rangle=\delta_{mn}k_BT$ , donde $H$ es el hamiltoniano y el $x_i$ son coordenadas generalizadas del sistema. La respuesta de Gabriel Golfetti profundiza en esto.

Si quieres incluir los sistemas clásicos y cuánticos, necesitas una generalización más radical. La única que puedo sugerir es la relación $T = \dfrac{\partial U}{\partial S}$ , donde $U$ y $S$ son las medias de los microestados que componen un macroestado.

Answer 5

Respuesta corta: no.

Respuesta ampliada: Depende de lo que se entienda por temperatura. Si se restringe el concepto de temperatura al concepto macroscópico utilizado en la termodinámica clásica, entonces la respuesta es afirmativa porque la temperatura termodinámica $T$ es siempre la media de los movimientos microscópicos. Por ejemplo, para un gas ideal

$$ T \equiv \frac{2}{3 k_\mathrm{B} N} \langle K \rangle $$

Pero podemos definir un concepto microscópico de temperatura como

$$ T^\mathrm{micro} \equiv \frac{2}{3 k_\mathrm{B} N} K $$

Esta cantidad se denomina a veces " temperatura instantánea ", y es no la media de cualquier cosa. La temperatura termodinámica habitual es la media de la temperatura microscópica

$$ T = \langle T^\mathrm{micro} \rangle $$