¿Por qué se considera más "natural" imponer una simetría a una teoría que afinar sus acoplamientos?

Question

Las teorías cuyo comportamiento cambiaría cualitativamente si sus acoplamientos no estuvieran ajustados a determinados valores suelen ser desechadas como "antinaturales" (en la física de altas energías) o "irreales" (en la física de la materia condensada), mientras que las teorías cuyos acoplamientos están limitados por requisitos de simetría se aceptan alegremente. ¿A qué se debe esto? Una restricción de simetría puede considerarse como una colección de ajustes finos que tiene un patrón unificador.

Por ejemplo, un campo escalar complejo Lagrangiano $$\mathcal{L}_1 = \partial_\mu \varphi^\dagger \partial^\mu \varphi - m^2 \varphi^\dagger \varphi - \lambda \left( \varphi^\dagger \right)^2 \varphi^2 \tag{1}$$ con un global $U(1)$ -simetría $$\varphi \to e^{i \theta} \varphi$$ puede considerarse como un lagrangiano general $$\mathcal{L}_2 = \partial_\mu \varphi^\dagger \partial^\mu \varphi - m^2 \varphi^\dagger \varphi - m'^2 \left( \left( \varphi^\dagger \right)^2 + \varphi^2 \right) - \lambda \left( \varphi^\dagger \right)^2 \varphi^2 - \lambda' \left( \left( \varphi^\dagger \right)^4 + \varphi^4 \right) - \dots\tag{2}$$ en el que todos los acoplamientos primados se han ajustado a cero. (Hay que reconocer que las cosas son más complicadas en el caso de las teorías cuánticas de campo gauge, porque en ese caso la simetría gauge requiere que se modifique también el procedimiento de cuantificación). Este tipo de "ajuste fino" es un poco menos arbitrario que el habitual, pero podría decirse que no es mucho menos arbitraria.

Answer 1

1. Si uno tiene una teoría $S[\alpha]$ que depende de algunos parámetros $\alpha$ siempre se pueden introducir nuevos parámetros artificiales $\beta$ y afirmar gratuitamente que la teoría $S[\alpha,\beta]:=S[\alpha]$ tiene una simetría $\beta\to \beta+ b$ . Por supuesto, esta simetría no es muy interesante.

2. Una simetría, digamos $\alpha \to\alpha + a$ sólo es interesante si diferentes valores de $\alpha$ son físicamente significativas/realizables/accesibles. Por el contrario, si existe un principio físico/regla de superselección que fije completamente $\alpha$ a un determinado valor, entonces estamos esencialmente de vuelta al punto 1.

3. ¿Cómo cuantificar la naturalidad? Parece pertinente mencionar la definición de 't Hooft de técnico [naturalidad](http://en.wikipedia.org/wiki/Naturalness%28physics%29)_ cf. Refs. 1 y 2. A escala energética $\mu$ dos pequeños parámetros de la forma $$m^{\prime 2}~\sim~ \varepsilon^{\prime} \mu^2 , \qquad \lambda^{\prime}~\sim~ \varepsilon^{\prime}, \qquad|\varepsilon^{\prime}|~\ll~ 1, $$
   en la densidad lagrangiana $${\cal L}_2~=~{\cal L}_1 - m^{\prime 2} \left( \left( \varphi^{\dagger} \right)^2 + \varphi^2 \right) - \lambda^{\prime} \left( \left( \varphi^{\dagger} \right)^4 + \varphi^4 \right)$$ es natural de la técnica, desde la sustitución $\varepsilon^{\prime}=0$ aumentaría la simetría del sistema, es decir, restablecería la $U(1)$ -simetría $\varphi \to e^{i \theta} \varphi$ , véase la densidad lagrangiana ${\cal L}_1$ .

4. Del mismo modo, a escala energética $\mu$ dos pequeños parámetros de la forma $$m^2~\sim~ \varepsilon \mu^2 , \qquad \lambda ~\sim~ \varepsilon , \qquad|\varepsilon |~\ll~ 1, $$
   en la densidad lagrangiana $${\cal L}_1~=~ \partial_{\nu}\varphi^{\dagger} \partial^{\nu} \varphi - m^2 \varphi^{\dagger} \varphi - \lambda \left( \varphi^{\dagger} \varphi \right)^2$$ es natural de la técnica, desde la sustitución $\varepsilon=0$ aumentaría la simetría del sistema, es decir, restauraría la simetría de traslación $\varphi \to \varphi+a$ .

Referencias:

1. G. 't Hooft, Naturalidad, simetría quiral y ruptura espontánea de la simetría quiral, NATO ASI Series B59 (1980) 135. ( PDF )

2. P. Horava, Sorpresas con la naturalidad no relativista, arXiv:1608.06287 ; p.2.

Answer 2

Yo diría exactamente lo contrario: elegir una simetría requiere mucho menos ajuste.

De hecho, al elegir una simetría, estás ajustando un "parámetro", el hecho de que el modelo tenga una simetría determinada, pero matando efectivamente un número infinito de acoplamientos en un solo barrido.

En el otro extremo, el ajuste fino estándar obliga a poner a cero un número infinito de constantes de acoplamiento. Como uno es mucho más pequeño que el infinito, creo que elegir una simetría equivale a un ajuste mucho menos fino.

Answer 3

¿Por qué se considera más "natural" imponer una simetría a una teoría que afinar sus acoplamientos?

Tome un diamante de un quilate (200 miligramos de carbono). Puede ser descrito por una simple simetría

Célula unitaria del cristal cúbico de diamante estructura

¿Qué es más "sencillo": imaginar la construcción del cristal utilizando la simetría o enumerar todas las coordenadas (x,y,z,t) de los átomos, incluso los pocos de esta celda unitaria?

Las simetrías "simplifican" los conceptos. Incluso tu argumento sobre el "ajuste fino de los acoplamientos primados" entra en la categoría de simplificación. No hay que imponerlo a cada uno de ellos, la simetría lo hace.

Supongo que si fuéramos ordenadores no habría diferencia, pero el hombre es un animal que reconoce patrones, y encontrar patrones y repeticiones de patrones es inherente a nuestras herramientas de acumulación de conocimiento, pero esto está fuera de la física.