Escribir $q=2n+1$. Un estudiante del resultado se puede resumir como una cadena binaria de longitud p, donde una respuesta correcta es la 1, una respuesta incorrecta 0 y el resultado global de los bits que aparece más a menudo. Los bits equivalente a la de la mayoría son predictores; hay, al menos, $n+1$ de ellos, pero puede haber más.
Ya que cada pregunta es de 50/50 en ser contestado bien o mal, el número de 1 (o 0) para un alumno / a es $B(2n+1,\frac12)$ distribuido. Como n crece, esto se puede aproximar como $N(n+\frac12, \frac n2+\frac14)$ – asintótica $N(n, \frac n2)$.
Ejemplos de esta última distribución se puede interpretar de la siguiente manera: una muestra de cerca de $n$ significa que el estudiante obtuvo cerca de 50% en el examen, y no había muchos predictores más allá de la $n+1$ que forman la mayoría, mientras que una muestra de cerca de 0 o $2n$ implica que el estudiante estaba cerca de 0% o 100% en el examen, y había cerca de $n$ extra de predictores (0 o 1, respectivamente).
Por lo tanto, si se pliegan $N(n, \frac n2)$ a lo largo de su media, se obtiene una distribución para el número de factores que el estudiante había. Esta es la media de la distribución normal asociado con $N(n, \frac n2)$, y su media es
$$n+\sigma\sqrt{\frac2\pi}=n+\sqrt{\frac n\pi}$$
donde $\sigma=\sqrt{\frac n2}$ es la desviación estándar de $N(n, \frac n2)$. La proporción esperada de los predictores del estudiante en el examen, a continuación,
$$\frac{n+\sqrt{\frac n\pi}}q\sim\frac12+\frac1{\sqrt{2q\pi}}$$
Para encontrar la probabilidad con varios estudiantes, imaginar un filtro que permite que una proporción p de la luz a través de, correspondiente a la proporción esperada de predictores para un estudiante derivada de la anterior. Dos filtros permitirá $p^2$ de la luz a través de, correspondiente a la proporción esperada de común predictores en el examen entre dos estudiantes. Tres filtros deje $p^3$ de la luz a través de, correspondientes a los tres estudiantes, y así sucesivamente. De ahí el asintótica probabilidad de que un p-pregunta de examen tomado por s estudiantes tiene al menos un predictor es perfecto
$$\left(\frac12+\frac1{\sqrt{2q\pi}}\right)^s$$
Por favor nota: sólo tengo 17 años, y soy más conocida por My Little Pony: la Amistad Es Magia fan art de las matemáticas. Sin embargo, sé que todos los componentes en la derivación anterior, habiendo aprendido de ellos en mi escuela. Algunos de los pasos puede ser una aproximación demasiado.
