Elipse 3-partición: misma área y perímetro

Question

Inspirado por la pregunta, "¿Cómo partir el área de una elipse en un número impar de regiones?," Pido una partición de una elipse en tres partes convexas, cada una de las cuales tiene la misma área y el mismo perímetro. El perímetro incluye tanto los arcos de la elipse como los cortes que se utilicen.

Se sabe que esto es posible gracias a resultados recientes de Aronov y Hubbard, "Convex Equipartitions of volume and surface area," y de Karasev, "Equipartition of several measures," pero tal vez las técnicas generales en estos trabajos (que no he estudiado) no necesiten ser utilizadas en este caso especial. ¿Quizás haya una construcción natural?

Actualización. Los dos trabajos que cité anteriormente son difíciles para mí de comprender. El caso especial de la equipartición en tres partes fue logrado anteriormente en un trabajo por Imre Bárány, Pavle Blagojevicc y András Szucsd, "Equipartitioning by a convex 3-fan," al cual no puedo acceder en este momento. Pero como puedes inferir por el título, la partición se logra a través de un 3-ventilador convexo: un punto con tres rayos que emanan de ese punto.

Answer 1

Sea $V_1 V_2$ el eje mayor de nuestra elipse, con área $\Delta$. Toma un punto $P$ entre $V_1$ y $V_2$ tal que $PV_1=x$, y dos puntos $Q_1,Q_2$ tales que $Q_1 Q_2$ sea perpendicular a $V_1 V_2$ y el sector elíptico $E_1$ delimitado por los rayos $PQ_1,PQ_2$ tenga área $\Delta/3$. Sea $E_2$ el sector elíptico delimitado por los rayos $PQ_1,PV_2$ y $p_j(x)$ el perímetro de $E_j$. La función

$$ f(x) = p_1(x) - p_2(x) $$

es claramente continua, por lo tanto, si encontramos dos puntos $x_0,y_0$ tales que $f(x_0)f(y_0)<0$, estamos seguros de que $f$ tiene al menos un cero $z$ y hemos terminado, ya que:

$$ \Delta(E_2) = \frac{\Delta-\Delta(E_1)}{2} = \Delta(E_1). $$