Cuál de los siguientes hechos son verdad de una secuencia de satisfacciones $\lim a_n^{\frac{1}{n}}=1$?

Question

Deje $a_n$ ser una secuencia de no-números negativos tales que

$$\lim a_n^{\frac{1}{n}}=1$$

Cuál de las siguientes es correcta?

• $\sum a_n$ converge
• $\sum a_nx^n$ converge uniformemente en $[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$
• $\sum a_nx^n$ converge uniformemente en $[-1,1]$
• $\lim \sup\frac{a_{n+1}}{a_n}=1$

Mi esfuerzo:

1.falso ,considere la posibilidad de $a_n=n$

2.cierto,El radio de convergencia de una potencia de la serie $\frac{1}{R}=\lim a_n^{\frac{1}{n}}=1\implies R=1$ .Por lo tanto la serie converge uniformemente para compact establece dentro de $|x|<1$.Por lo tanto la serie converge uniformemente en $|x|\leq 0.5$

3.falso ,poniendo a $x=1$ igual que en el caso 1.

4.Yo soy incapaz de probar este hecho.Cómo resolver esto .

Answer 1

Primero de todo, el camino a seguir por sus esfuerzos. Tan lejos como puedo ver, sus respuestas a las tres primeras preguntas son correctas. Para refutar la última considerar la secuencia

$$\{a_n\}=\{1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,1,....\}=\begin{cases}k,&n=2k-1\\{}\\1,&\text{otherwise}\end{cases}$$

Observar que

$$\left\{\frac{a_{n+1}}{a_n}\right\}=\left\{1,2,\frac12,3,\frac13,4,...\right\}$$

Answer 2

Su respuesta a la 2) es falsa. $R=1$ implica que el poder de la serie converge absolutamente para$|x|<1,$, pero no de manera uniforme en el rango. Ejemplo: $\sum x^n.$ sin Embargo, la potencia de la serie converge uniformemente en $[-a,a]$ todos los $a\in [0,1).$

Answer 3

Por último , un resultado general puede ayudarle a : $$\lim\sup\left|\frac{a_{n+1}}{{a_n}}\right|\ge \lim\sup|a_n|^{1/n}$$ $$ \lim\inf|a_n|^{1/n}\ge\lim\inf \left|\frac{a_{n+1}}{{a_n}}\right|$$