¿Por qué se permite multiplicar una matriz 1x1 por cualquier matriz?

Question

Entonces, para multiplicar 2 matrices, debe haber el mismo número de columnas en la matriz izquierda como filas en la matriz derecha. Entonces, si $A$ es una matriz $m \times n$ y $B$ es una matriz $p \times q$, no debe ser $n = p$ para que exista $AB$ y no debe ser $q = m$ para que exista $BA$. Por esta lógica, solo deberíamos poder multiplicar una matriz $1 \times 1$ con una matriz $1 \times n$ a la derecha o una matriz $n \times 1$ a la izquierda. Sin embargo, si $C$ es una matriz $1 \times 1$ y $D$ es una matriz $m \times n$, donde ni $m$ ni $n = 1$, podemos multiplicar las 2 matrices simplemente multiplicando cada entrada en $D$ por la entrada en $C. ¿Por qué? ¿No deberían ser las reglas para una matriz $1 \times 1$ iguales a las de todas las demás matrices?

Answer 1

$M_{m \times n}(\mathbb{R})$ denota el conjunto de matrices $m \times n$ con coeficientes en $\mathbb{R}$, este es un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$, y es isomorfo a $\mathbb{R}^{mn}$. Tienes razón en que técnicamente, la multiplicación de matrices no está bien definida entre una matriz de $1 \times 1$ y una matriz de $m \times n$ a menos que $n=1$, pero la multiplicación escalar sí lo está, es decir, es perfectamente legítimo multiplicar una matriz por un número real componente por componente. Dado que $M_{1 \times 1}(\mathbb{R})$ es isomorfo a $\mathbb{R}$, puedes definir (o, si prefieres, simplemente pensar en) identificar una matriz de $1 \times 1$ con un elemento único en $\mathbb{R}$, y definir la "multiplicación" por esta matriz de $1 \times 1$ en cualquier otra matriz como simplemente multiplicando por el escalar. Esto funcionará también sobre cualquier otro campo.

Answer 2

Normalmente, no se define el producto de un $1\times 1$ con una matriz general $m\times n$ matriz. En su lugar se define el producto de una número real con una matriz arbitraria (nótese que aquí estoy asumiendo matrices reales; de lo contrario, sustituye "número real" por lo que sea que tus matrices estén compuestas). Tenga en cuenta que se trata de un diferentes que el producto de dos matrices.

Obsérvese también que, formalmente, un $1\times 1$ matriz es algo diferente a un solo número: Un $1\times 1$ La matriz es una disposición rectangular de un número. Puedes decir que eso es una minucia, pero la cuestión es que esta minucia es importante para entender lo que está pasando. Entonces, cuando lo entiendas, puedes empezar a ser descuidado y no distinguir estrictamente entre ambos porque dondequiera que puedas usar cualquiera de ellos, se comportan básicamente de la misma manera (seré más específico en esto más adelante).

Así que vamos a ver una matriz de una manera diferente: Una matriz es un función que acepta dos índices, y luego te dice el número real que se encuentra en ese lugar. Esa función se escribe convencionalmente con índices en lugar de paréntesis, pero eso no la hace menos función. Por ejemplo, la matriz $$A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 7 \end{pmatrix}$$ es una función que asigna el par $(1,1)$ al valor $2$ , la pareja $(1,2)$ al valor $3$ , la pareja $(2,1)$ al valor $5$ y el par $(2,2)$ al valor $7$ . Normalmente se escribe como $A_{11}=2$ , $A_{12}=3$ , $A_{21}=5$ y $A_{22}=7$ . Pero, en principio, también se podría escribir $A(1,1)=2$ , $A(1,2)=3$ , $A(2,1)=5$ y $A(2,2)=7$ y matemáticamente no supondría la más mínima diferencia; es sólo una convención que en algunos casos las funciones se escriben en notación de índice.

Ahora, en esas matrices, se define una suma y dos multiplicaciones:

• La suma de dos matrices viene dada por la suma de elementos.
• La multiplicación de una matriz por una número viene dada por la multiplicación por elementos.
• La multiplicación de dos matrices viene dada por $C_{ij}=\sum_kA_{ik}B_{kj}$ .

En este punto es importante que realmente estemos hablando de dos operaciones diferentes. En principio, esas operaciones no tienen nada que ver entre sí, pero, por supuesto, están definidas de manera que sean "compatibles" entre sí, así como con otra multiplicación es decir, la multiplicación de dos números, y otra adición La suma de dos números.

Así que cuando se trabaja con matrices, en realidad se está utilizando cinco diferentes operaciones: Dos sumas diferentes (número más número, matriz más matriz) y tres multiplicaciones diferentes (número por número, número por matriz, matriz por matriz). Sin embargo, escribimos las dos sumas y las tres multiplicaciones igual. Y podemos salirnos con la nuestra porque, por un lado, siempre podemos determinar de qué se trata mirando sus argumentos y, por otro, las operaciones son compatibles entre sí, de modo que las simplificaciones notacionales que ya utilizamos para las multiplicaciones simples funcionan aunque las mezclemos. Por ejemplo, para los números podemos escribir $abc$ en lugar de $(ab)c$ o $a(bc)$ porque sabemos que esas expresiones dan el mismo resultado. Ahora bien, si se hace lo mismo con productos mixtos, por ejemplo (utilizando letras minúsculas para los números y mayúsculas para las matrices) en $(ab)C$ tienes un producto número-número y un producto número-matriz, mientras que en $a(bC)$ tienes dos productos de matriz numérica, por lo que las dos expresiones ni siquiera están formadas por la misma tipo del producto. Sin embargo, están definidos de tal manera que esos dos productos dan el mismo resultado, y por lo tanto podemos seguir escribiendo simplemente $abC$ a pesar de que las diferentes formas de poner paréntesis implican diferentes tipos del producto.

De acuerdo, pero ¿qué pasa con el $1\times 1$ ¿Matriz? Bueno, esa es una función del conjunto de elementos simples $\{(1,1)\}$ a los números reales. Por supuesto, esto significa que sólo hay un valor de la función, que es un número real. En notación matricial estándar, se puede escribir con un número entre paréntesis, por ejemplo $(5)$ . Obsérvese que, como esta notación describe realmente una función, se trata de no lo mismo que el número $5$ . Sin embargo, cuando se observan las reglas de las operaciones matriciales, se comprueba que se corresponden exactamente con las operaciones numéricas en la entrada única, es decir, la suma matricial se corresponde con las sumas numéricas, y ambos las multiplicaciones se corresponden con la multiplicación de números: \begin {alineado} (a) + (b) &= (a+b) && \text {Suma de matrices} \to\text {suma de números} \\ a (b) &= (ab) && \text {número de multiplicación con matriz} \to\text {multiplicación de números} \\ (a) (b) &= (ab) && \text {matriz de multiplicación con matriz} \to\text {multiplicación de números} \end {alineado} Obsérvese de nuevo, que todavía hay dos diferentes las multiplicaciones con matrices, que corresponden a la misma multiplicación, es decir, la multiplicación de dos números.

Además, si se observan los casos en los que se puede multiplicar un $1\times 1$ con otra matriz (que ha identificado correctamente), vemos que de nuevo se obtiene el mismo resultado que multiplicando esa otra matriz con la número dentro de ese $1\times 1$ matriz (que, vuelvo a subrayar, es otro operación).

Así que en cualquier lugar donde podamos usar $1\times 1$ matrices, cuando las sustituimos por los números que hay dentro de ellas y al mismo tiempo reemplazar las operaciones al tipo apropiado (hecho que queda oculto por el hecho de que escribimos todas esas operaciones con el mismo símbolo - otro punto en el que estrictamente somos descuidados), entonces seguimos obteniendo exactamente el mismo resultado. Y por eso se puede ser chapucero y no distinguir estrictamente ambos conceptos.

Sin embargo, tenga en cuenta la restricción: *donde podemos usar $1\times 1$ matrices. Hay casos en los que se pueden utilizar números, pero no utilice $1\times 1$ matrices. Y uno de esos casos es el de tu pregunta: No puedes multiplicar una $m\times n$ con una matriz $1\times 1$ matriz. Pero tú puede multiplicarlo por un número . Así que si te descuidas y no distingues estrictamente entre $1\times 1$ matrices y números, cuando se ve un producto de una matriz y un número, puede parecer un producto de una matriz con un 41 \times Matriz de 1$, porque eres descuidado.

Hay tres formas posibles de afrontarlo:

• No seas descuidado. Lleva siempre la cuenta de si tienes un número, o un $1\times 1$ matriz. Esta es, por supuesto, la forma menos propensa a errores.

• Sé descuidado, pero ten en cuenta que estás siendo descuidado, y cuando te encuentras con un contexto en el que sólo tienen sentido los números, pero lo que tienes ahí es realmente un $1\times 1$ matriz, inserta mentalmente la operación "el número que hay dentro", $(a)\mapsto a$ . Por ejemplo, formalmente el producto de un $1\times n$ matriz y una $n\times 1$ es una matriz $1\times 1$ matriz. Siendo descuidado, puede identificar que $1\times 1$ con el número en su interior, y utilizar ese número en un contexto que no permita un $1\times 1$ matriz (como multiplicarla por una $m\times n$ matriz). Eso no está formalmente permitido, pero aplicando implícitamente la función "el número que hay dentro", puedes, de forma inequívoca, convertirlo en una función bien definida. Del mismo modo, si tienes un número y necesitas un $1\times 1$ matriz, puedes insertar mentalmente el "ponlo en un $1\times 1$ operación "matriz", $a\mapsto (a)$ .

• Haz que el descuido sea riguroso definiendo las operaciones "que faltan". Así, en tu caso, puedes definir otro más multiplicación, entre un $1\times 1$ matriz y una $m\times n$ que se define como la simple multiplicación de la matriz $m\times n$ con el número dentro de la matriz $1\times 1$ matriz.

Evidentemente, la primera opción es la más sencilla desde el punto de vista conceptual, pero puede resultar tediosa en determinados contextos, mientras que la segunda opción es la más flexible, a costa de exigir al lector que "rellene los huecos". Por eso, generalmente se utilizará una de ellas. La primera es más probable que se utilice cuando se enseña, o en contextos en los que la segunda opción no supondría una gran ventaja o incluso una desventaja, mientras que la segunda opción se utilizará más probablemente cuando se pueda esperar que el público tenga experiencia con las matrices y la chapuza proporcione una simplificación significativa.

Obsérvese que el descuido sólo puede justificarse porque no introduce ninguna ambigüedad. Siempre que el descuido pueda crear ambigüedad, hay que ser estricto en la aplicación de los conceptos.

Answer 3

La multiplicación escalar se puede definir como una abreviatura del producto de matrices con el producto de Kronecker con la matriz identidad:

$$s{\bf A} = (s\otimes{\bf I}_m){\bf A} = {\bf A}(s\otimes{\bf I}_n)$$

Por lo tanto, es una forma abreviada de no tener que escribir expresiones engorrosas y los productos de Kronecker probablemente serían confusos de introducir al comenzar a aprender álgebra lineal.

---

EDITAR Una cosa práctica con esta interpretación es que permanecerá fiel con respecto a las abstracciones de la representación de matrices. Si tenemos una matriz compleja 2x2 implementada como una matriz real 4x4 (bloques 2x2 de 2x2 cada uno), entonces la "multiplicación escalar" para nuestra representación sería la multiplicación con el producto de Kronecker entre el escalar complejo (implementado como un bloque real 2x2) y ${\bf I}_2$.

Answer 4

No hay excepción a la regla, no puedes multiplicar una matriz de $1\times1$ por una de $m\times n$, eso es todo.

Es posible multiplicar una matriz por un escalar, pero un escalar no es una matriz de $1\times1$.