¿En qué sentido un número complejo puede ser un escalar?

Question

Una definición de un escalar como

Un escalar es una cantidad de un componente que es invariante bajo rotaciones del sistema de coordenadas (ver http://mathworld.wolfram.com/Scalar.html )

parece excluir que los números complejos sean escalares, porque los números complejos se expresan generalmente como cantidades vectoriales de dos componentes. Sin embargo, en física tenemos cosas como campos escalares complejos . ¿En qué sentido los números complejos pueden ser escalares en física? ¿Significa esto que un escalar se define en física simplemente como cualquier cantidad (independiente del número de componentes), que es invariante bajo transformaciones espacio-temporales (traslaciones, rotaciones y aumentos de Lorentz)?

Answer 1

Un escalar es una cantidad de un componente que es invariante bajo rotaciones del sistema de coordenadas

De acuerdo, pero ¿qué quiere decir entonces con "rotación"?

Verás, un escalar en el sentido definido en tu cita no es sólo "un escalar", y punto. Sólo se puede tener un escalar con respecto a alguna operación de rotación particular. La misma cantidad puede ser un escalar con respecto a un tipo de rotación y un vector o tensor con respecto a otro.

Es cierto que hay un grupo de rotación (a $U(1)$ grupo) que actúa sobre el plano complejo y convierte un número complejo en otro. Pero ese no es el tipo de grupo de rotación que utilizan los físicos. Usamos rotaciones que convierten direcciones físicas entre sí (el tradicional $SO(3)$ rotación), o que conviertan las direcciones de las líneas del mundo en una sola (el grupo de Lorentz), o que conviertan los estados de espín en una sola (cualquier $SU(2)$ grupo de espín), o estados de color (el $SU(3)$ grupo utilizado en la QCD), etc. Ninguna de estas rotaciones afecta a un número complejo simple, porque un número complejo simple no tiene ningún significado físico adjunto que le haga cambiar bajo cualquier operación de rotación física.

Esto tiene implicaciones para lo que cuenta como "componente". Como usuario2357112 mencionado en los comentarios, depende del contexto: por ejemplo, puedes tratar un número complejo como un vector de dos componentes, o podrías tener un vector con coeficientes complejos (como en la mecánica cuántica), en cuyo caso cada número complejo es sólo un componente. De hecho, hay incluso situaciones en las que una matriz entera puede ser un componente, como la Vector Pauli .

La cuestión es que no debes asumir que un componente tiene que ser un número real, o incluso cualquier tipo de número. Probablemente tenga más sentido definir una componente en términos de rotaciones (ya que en matemáticas la idea de componentes proviene de los espacios vectoriales, así que podríamos hacer lo mismo en física). No voy a sugerir ningún tipo de definición rigurosa, pero una definición sensata captaría la idea de que los componentes de un vector "se compensan" entre sí bajo una rotación, y si algún objeto matemático no se ve afectado por una determinada rotación, entonces todo el objeto (ya sea un número, un vector, un tensor, lo que sea) merece ser considerado un componente (y por tanto un escalar) con respecto a esa rotación.

Answer 2

Aunque esto es algo trivial, un número complejo, como miembro de un campo puede ser un escalar que actúa por multiplicación conmutativa sobre un espacio vectorial Esta última, a través del escalamiento, es la manifestación fundamental de la noción de linealidad . Véase la definición de espacio vectorial para más detalles.

Answer 3

Los números complejos suelen visualizarse como una "cantidad vectorial de dos componentes". Sin embargo, esto es sólo una herramienta de visualización, y los ejes real+imaginario del plano de Argand no se corresponden con ninguna dirección física. Los números complejos no cambian bajo $SO(3)$ rotaciones del espacio o impulsos de Lorentz, por lo que son escalares.

Si cree que los números complejos están fundamentalmente relacionados con los puntos de una superficie bidimensional, quizá le interese su historia. En el siglo XVIII se desarrollaron muchos teoremas importantes sobre los números complejos, como la fórmula de De Moivre y la fórmula de Euler. Todos ellos se basaban en la definición algebraica $i^2 = -1$ sin ninguna identificación/visualización geométrica de los números complejos como puntos en un plano complejo. Hasta el siglo XIX no nació el concepto de plano complejo.

Answer 4

Para ampliar un poco la respuesta de WetSavannaAnimal, un matemático define un espacio vectorial (vagamente) como un conjunto de cosas que se comportan como pequeñas flechas cuando se suman o multiplican por un escalar (también conocido como número). No es necesario que sean flechitas. Por ejemplo, el conjunto de todas las funciones $y = ax^2 + bx + c$ es un espacio vectorial 3D.

Un vector de n dimensiones siempre puede representarse con n números, lo que equivale a un punto en un espacio físico de n dimensiones, o a una flechita desde el origen hasta ese punto. Este es el sentido en el que un vector puede describirse mediante una magnitud y una dirección.

Para los espacios vectoriales más conocidos, los números son reales. Pero también es posible que sean complejos. Por ejemplo, las funciones anteriores podrían definirse en el plano complejo. Seguiría siendo un espacio vectorial 3D. Aunque $a$ , $b$ y $c$ serían números complejos, hay 3 de ellos.

Esto estira un poco la idea de una flecha en un espacio físico. Pero también lo hace un vector 4D o 17D. La cuestión es que un escalar es el número que puede multiplicar un vector sin cambiar su dirección.

Para un físico, un vector tiene que tener otra propiedad. Debe tener una magnitud físicamente significativa que no cambie cuando se gira el sistema de coordenadas. Para un físico, la fuerza es un vector, pero un punto en un espacio de fase termodinámico no lo es. Para un físico, el espacio-tiempo 4D es un espacio vectorial en el que la magnitud es el intervalo y las rotaciones de coordenadas son impulsos.

Los físicos son un poco descuidados en este punto. Para un matemático, la idea de magnitud queda recogida en la definición de norma. Para un matemático, el espacio-tiempo 4D no es un espacio vectorial normado porque una norma nunca debe ser negativa.

Volviendo al punto, un segundo significado de escalar es un valor físicamente significativo que es invariable bajo rotaciones de coordenadas. La magnitud de un vector es un escalar. Del mismo modo, las magnitudes de los tensores de mayor rango son escalares.

En este sentido, los escalares suelen ser números reales. La mecánica cuántica tiene funciones de onda de valor complejo. Pero las magnitudes físicamente significativas son reales.

Answer 5

Lo que has citado es una definición de "escalar" en algún contexto físico/matemático.

El término "escalar" proviene del latín scala significa escalera; y multiplicar una cantidad vectorial por un escalar tiene el efecto de escalar su magnitud sin afectar a su orientación. De ahí el nombre de "escalar". Pero a lo largo de los años, el término "escalar" se ha ido convirtiendo en un término bastardo por parte de los matemáticos para referirse incluso a cantidades complejas que "escalan" alguna otra cantidad matemática abstracta mediante la multiplicación. A pesar de que, originalmente, multiplicar un vector por una cantidad compleja tenía el efecto de escalar y rotar un vector.

Así, un número complejo puede ser hoy un escalar cuando se utiliza para "escalar" otra cantidad matemática abstracta mediante la operación unaria que llamamos multiplicación. Pero de una forma que no estaba prevista originalmente en la definición de "escalar".