Evaluar $\sqrt[2]{2} \cdot \sqrt[4]{4}\cdot \sqrt[8]{8}\cdot \dots$

Question

Evaluar: $$\lim_{n\to \infty }\sqrt[2]{2}\cdot \sqrt[4]{4}\cdot \sqrt[8]{8}\cdot \dots \cdot\sqrt[2^n]{2^n}$$

Mi intento:en Primer lugar resolver cuando se $n$ no es infinito, a continuación, poner el infinito.

$$2^{\frac{1}{2}}\cdot 4^{\frac{1}{4}}\cdot \dots\cdot (2^n)^{\frac{1}{2^n}}$$

$$=2^{\frac{1}{2}}\cdot 2^{\frac{2}{4}}\cdot \dots\cdot 2^{\frac{n}{2^n}}$$

Ahora se calcula la suma de las potencias:

$$\frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{3}{8}+\dots+\frac{n}{2^n}$$

$$=\frac{2^{n-1}+2\cdot2^{n-2}+3\cdot2^{n-3}+\dots+n\cdot2^0}{2^n}$$

Ahora se calcula el numerador:

$$2^0+2^1+2^2+\dots+2^{n-1}=2^n-1$$

$$+$$

$$2^0+2^1+\dots+2^{n-2}=2^{n-1}-1$$

$$+$$

$$2^0+2^1+\dots+2^{n-3}=2^{n-2}-1$$

$$+$$

$$\vdots$$

$$+$$

$$2^0=2^1-1$$

$$=2^1+2^2+2^3+\dots+2^n-n=2^{n+1}-n-1$$

Ahora ponga el numerador de la fracción:

$$\frac{2^{n+1}-n-1}{2^n}=2-\frac{n}{2^n}-\frac{1}{2^n}$$

Ahora nos pueden encontrar fácilmente en $\lim_{n \to \infty}\frac{1}{2^n}=0$

A continuación, sólo tenemos que encontrar a $\lim_{n \to \infty }\frac{n}{2^n}$, que por medio de gráficas fácilmente nos dan la respuesta cero.

Que da la respuesta total es $4$.

Pero ahora son dos problemas:

1.No puedo encontrar a $\lim_{n \to \infty }\frac{n}{2^n}$ sin graghing.

2.Mi respuesta es demasiado larga.

Ahora quiero que me ayuden con estos problemas.Gracias.

Answer 1

$$I=\frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{3}{8}+\frac{4}{16}+\frac{5}{32}+\frac{6}{64}+\cdots$$ $$2I=1+1+\frac{3}{4}+\frac{4}{8}+\frac{5}{16}+\frac{6}{32}+\cdots$$ $$2I-I=1+\left(1-\frac 12 \right)+\left(\frac 34 -\frac 24 \right)+\left(\frac 48 -\frac 38 \right)+\left(\frac {5}{16} -\frac {4}{16} \right)+\cdots$$ $$I=1+\frac 12+\frac 14+\frac 18+\cdots=2$$ por lo tanto $$\lim_{n\to \infty }\sqrt[2]{2}\times\sqrt[4]{4}\times\sqrt[8]{8}\times\dots\times\sqrt[2^n]{2^n}=2^2=4$$

Answer 2

Creo que este es un "conocido" de la representación de la clave de la suma:

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n} \;=\; \frac{1}{2} + \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} \right) + \cdots \;=\; 2 $$

Answer 3

Espero que esto sea útil para usted.

Así que tu tratando de evaluar $\displaystyle\prod_{n=1}^{\infty}\sqrt[2^{n}]{2^{n}}$. Consideremos, en primer lugar $\displaystyle\prod_{n=1}^{k}\sqrt[2^{n}]{2^{n}}=2^{\sum_{n=1}^{k}\frac{n}{2^{n}}}$, después de desarrollar el producto correctamente. Ahora usted tiene que hacer sentido de $$\lim_{k\to\infty}\sum_{n=1}^{k}\frac{n}{2^{n}}$$ , por lo que para llegar a un determinado valor, tenga en cuenta que $\sum_{n=1}^{k}\frac{n}{2^{n}}=\sum_{n=1}^{k}\frac{n-1}{2^{n-1}}-\frac{n}{2^{n}}+\sum_{n=1}^{k}\frac{1}{2^{n-1}}$, por lo tanto

\begin{eqnarray*} \lim_{k\to\infty}\sum_{n=1}^{k}\frac{n}{2^{n}}&=&\lim_{k\to\infty}\sum_{n=1}^{k}\frac{n-1}{2^{n-1}}-\frac{n} {2^{n}}+\sum_{n=1}^{k}\frac{1}{2^{n-1}}\\ &=&\lim_{k\to\infty}-\frac{k}{2^{k}}+\frac{1-\frac{1}{2^{k+1}}}{1-\frac{1}{2}}\\ &=&2 \end{eqnarray*} Finalmente, $$\prod_{n=1}^{\infty}\sqrt[2^{n}]{2^{n}}=\lim_{k\to\infty}\prod_{n=1}^{k}\sqrt[2^{n}]{2^{n}}=\lim_{k\to\infty}2^{\sum_{n=1}^{k}\frac{n}{2^{n}}}=2^{\lim_{k\to\infty}\sum_{n=1}^{k}\frac{n}{2^{n}}}=2^{2}=4$$

Answer 4

$$\text{P}=\prod_{n=1}^{\infty}\sqrt[2^n]{2^n}=\sqrt[2]{2}\times\sqrt[4]{4}\times\sqrt[8]{8}\times\dots=2^{\frac{1}{2}}\times4^{\frac{1}{4}}\times8^{\frac{1}{8}}\times\dots$$

Cuando hacemos uso de la función de REGISTRO de conseguir (al $n$ es positivo):

$$\ln\left(\left(2^n\right)^{\frac{1}{2^n}}\right)=\frac{n\ln(2)}{2^n}$$

Y el uso de, al $a$ $b$ son positivas:

$$\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)$$

Así, tenemos que:

$$\ln(\text{P})=\frac{1\ln(2)}{2^1}+\frac{2\ln(2)}{2^2}+\frac{3\ln(2)}{2^3}+\dots=\ln(2)\left[\frac{1}{2^1}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+\dots\right]$$

Y, ahora sabemos que:

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n}=\frac{1}{2^1}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+\dots=\frac{2}{(2-1)^2}=2$$

El uso de, al $|x|>1$:

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{x^n}=\frac{x}{(x-1)^2}$$

Así:

$$\ln(\text{P})=\ln(2)\left[2\right]=2\ln(2)\Longleftrightarrow\text{P}=4$$

Nosotros, encontrar la respuesta:

$$\color{red}{\text{P}=\prod_{n=1}^{\infty}\sqrt[2^n]{2^n}=\sqrt[2]{2}\times\sqrt[4]{4}\times\sqrt[8]{8}\times\dots=2^{\frac{1}{2}}\times4^{\frac{1}{4}}\times8^{\frac{1}{8}}\times\dots=4}$$

Answer 5

$I=1+\frac 12+\frac 14+\frac 18+\frac 1{16}+\cdots=2$

$I^2 =1+\frac{2}{2}+\frac{3}{4}+\frac{4}{8}+\frac{5}{16}+\cdots$

$I^2 -I=\frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{3}{8}+\frac{4}{16}+\cdots=2^2-2=2$

Entonces

$\lim_{n\to \infty }\sqrt[2]{2}\cdot \sqrt[4]{4}\cdot \sqrt[8]{8}\cdot \dots\cdot \sqrt[2^n]{2^n}=2^{I^2-I}=2^2=4$