Debe ser una secuencia $(\epsilon_n)$ de los signos de que $\sum\epsilon_nx_n$ $\sum\epsilon_ny_n$ son ambas convergentes?

Question

Deje $(x_n)$ $(y_n)$ ser real secuencias.

(i) Supongamos $x_n \rightarrow 0$ $n \rightarrow \infty.$ Muestran que hay una secuencia $(\epsilon_n)$ de los signos (es decir, $\epsilon_n \en \{-1, +1\}$ for all $n$) such that $\sum \epsilon_nx_n$ es convergente.

(ii) Suponga $x_n \rightarrow 0$ $y_n \rightarrow 0.$ Debe ser una secuencia $(\epsilon_n)$ de los signos de que $\sum\epsilon_nx_n$ y $\sum\epsilon_ny_n$ son ambas convergentes?

Yo estoy luchando para llegar con pruebas, para (i) he visto que simplemente elegir un límite y, a continuación, tan pronto como nuestros suma pasa el límite establecemos $\epsilon_n=-1$ hasta que se nos pase de nuevo y así sucesivamente, oscilando sobre el límite, pero como $x_n \rightarrow 0$ que convergen a ella. para (ii) no creo que debe haber una secuencia de $\epsilon_n$ pero no se puede construir una prueba o contraejemplo. Así que me gustaría pedir una solución a (ii) y, posiblemente, una mejor manera de construir respuestas/a abordar estos problemas en general.

Gracias

Answer 1

La respuesta a (ii) es sí, hay una secuencia de signos $\epsilon_n$. Ver Teorema 2.2.1 aquí, donde este resultado (para cualquier número de serie, formulado para que el vector de valores de la serie) se conoce como el Dvoretzky-Hanani Teorema.

Answer 2

(Solo un comentario sobre (i))

Su respuesta a (i) es incorrecta cómo lo dijo. Podría ser que $x_n \to 0$ pero van demasiado rápido para acercarse a cualquier límite (esto sucede si $\sum_n |x_n| < \infty$). Por ejemplo, tome $x_n = \frac{1}{2^n}$, y decir que usted escoja el límite de $L = 3$. Entonces, de acuerdo a lo que usted dijo, usted siga $\epsilon_i = 1$ términos positivos hasta que su suma pasa $L$...excepto que nunca pasará de $L$. La suma no llega nunca a $2$. Usted puede hacer esto correcto si usted maneja el caso de que $\sum_{i} |x_i|$ converge por separado. Sólo asegúrese de escribir todos los detalles de la prueba, como usted parece ser la afirmación de que puede hacer que el límite de $L$ real $L$, lo cual no es necesariamente cierto. También asegúrese de no asumir que $x_i$ es positivo.

Answer 3

$\lim_\limits{n\to \infty} x_n = 0$

$\forall\epsilon>0,\exists N>0$ tal que $n>N\implies |x_n|<\epsilon.$

Yo no se qué hacer con los pobres epsilon tirar una doble función. Voy a llamar a la secuencia de signos e.

$M_n = \sum_\limits {i=1}^n e_i x_i$ Para los primeros N elementos podemos dejar $e_i$ ser estrictamente positivo. Al$N>n,$, se puede elegir el signo de $e_{n+1}$ que si $M_n>M_N, e_{n+1}x_{n+1} < 0$ e si $M_n < M_N, e_{n+1}x_{n+1} > 0.$ Con $e_{n+1}$ elegido de esta manera, desde $|x_{n+1}| < \epsilon, |M_{n+1} - M_N| < \epsilon$

¿Qué acerca de ii) mi intuición me dice que no se puede hacer.

Supongamos $\sum |y_n|$ $\sum |x_n|$ divergen, pero las secuencias se van a cero. para cualquier secuencia de signos $e_n$ tal que $\sum e_n x_n$ converge, existe una secuencias de signos $f_n$ tal que $e_n f_n y_n = |y_n|$ $f_ny_n$ sería todavía una secuencia que se va a cero.

Para todos los convergente $\sum e_n x_n$ existe un $y_n$ tal que $y_n\to 0$ $\sum e_n y_n$ es divergente.

Pero eso no es exactamente lo mismo que nos han hecho a probar, no?

Answer 4

Sketch (omitiendo algunos detalles): Si $\sum |x_n| < \infty,$ estamos hecho. Así que supongamos $\sum |x_n| = \infty.$ Deje $n_1 = 1.$ a Continuación, vamos a $n_2$ ser el más pequeño $n$ tal que $|x_1|-( |x_2| +\cdots + |x_{n_2}|) < 0.$ sabemos que habrá un $n_2$ porque $\sum |x_n| = \infty.$ a Continuación, vamos a $n_3$ ser el más pequeño $n$ tal que

$$|x_1|-( |x_2| +\cdots + |x_{n_2}|) + (|x_{n_2+1}|+ \cdots |x_{n_3}|) >0.$$

A seguir adelante. Debido a $x_n \to 0,$ hemos

$$\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1} \sum_{n=n_k}^{n_{k+1} - 1}|x_n| =0.$$

Esto dará como resultado una secuencia $\epsilon_n$ tal que $\sum \epsilon_nx_n = 0.$