En la geometría Euclidiana textos, siempre se menciona que punto es indefinido, que sólo puede ser descrito. Considere la siguiente definición: "Un punto es un objeto matemático con ninguna forma y tamaño." No entiendo cuál es el problema con esta definición. Por favor, dar las razones detalladas. Gracias de antemano!
Respuestas
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La exacta dificultad es que en matemáticas, definimos las cosas en términos de otras cosas. También evitamos las definiciones circulares, en otras palabras que no desea definir $A$ en términos de $B$ donde $B$ está definido en términos de $C$ $C$ se define en términos de $A$.
Ya que nos evita la circularidad, podemos poner todas nuestras definiciones en orden, de manera que nada de lo que se define se define cuando se menciona por primera vez. Pero si escribimos una teoría matemática de esta manera, y mirad la primera definición que escribió, la cosa es definido se define en términos de algunas otras cosas, y esas "otras cosas" no se han definido previamente (ya que esta es nuestra primera definición) y no será definido más adelante (ya que cada definición viene antes de la el primer uso de la cosa se define).
En resumen, con el fin de construir una teoría matemática tenemos que empezar con algunos "primitivas nociones" que nunca vamos a definir. Todo lo demás puede ser definido en términos de las nociones.
Esto no prueba que un punto que debe ser una de las nociones primitivas de la geometría Euclidiana, pero sucede que ella ha sido elegida para ser una de esas nociones primitivas, y esta elección ha funcionado bien.
Patrick Stevens
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En virtud de su definición, los siguientes son los puntos:
- la variable $x$
- la sentencia de $(\forall x)(\exists y)(x^2 = y)$
- $\int_{\infty}^{\infty} f(x) dx$ donde $f$ no está especificado
- la categoría de todas las categorías pequeñas
Estoy seguro de que usted de acuerdo en que ninguna de estas cosas son los puntos.
Tomas Dabasinskas
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En un famoso comentario en el contexto de una discusión de axiomatisations, David Hilbert señaló que estos indefinido de objetos podría ser beermugs. El problema conceptual básica aquí es que los matemáticos son la tentación de mirar por último fundamentos de las matemáticas. Naturalmente, esto conduce a un callejón sin salida porque lo de la fundación, usted declara ser definitiva, contendrá términos indefinidos que a su vez puede pedir aún más rigurosa de las fundaciones.
La solución es abandonar fundacionalismo en total, junto con una quijotesca búsqueda para el máximo rigor, y ver axiomatisations para lo que son, es decir, las herramientas convenientes para el esclarecimiento de las relaciones entre las entidades matemáticas uno está interesado en. Y, por supuesto, yo se niegan a definir un matemático entidad sólo yo me negaría fundacionalismo.
Wildcard
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286
Se puede atraer a la controversia, pero voy a seguir adelante y presentar una visión alternativa sobre esta cuestión.
El otro ms responden que han hecho un trabajo ejemplar, demostrando por qué un matemático primitivo no puede ser matemáticamente definido.
El truco que se olvida es que en el fin de comunicarse con alguien, usted debe tener algo de realidad compartida con ellos. Usted debe tener algún tipo de acuerdo en cómo se está comunicando o que simplemente nunca será capaz de entender.
Las matemáticas se lleva a la opinión de que cualquier cosa que no está definido con precisión, no puede ser considerado válido matemáticamente-excepto para los tipos primitivos. He observado que algunos autores y los matemáticos se siente incómodo con esta excepción, pero ellos no ven a su alrededor, de modo que aprenden a vivir con ella.
De hecho podemos hacer comparten una realidad común, o usted no sería capaz de leer esta respuesta. Compartimos la realidad del universo físico. Todo lenguaje está arraigada en última instancia, en esta realidad compartida, y se puede observar que los bebés a aprender el idioma (cualquier idioma, no sólo en inglés), lo hacen mediante la observación de los objetos reales y las acciones reales, y poco a poco trabajar hasta los altos niveles de abstracción.
Así que la respuesta a esta pregunta se cae en el ámbito de la epistemología, en lugar de las matemáticas.
A través de las matemáticas es posible simbolizar y la razón sobre los universos completamente diferentes de las reglas del universo en el que vivimos. Sin embargo, con el fin de comunicar acerca de estos otros universos o abstracciones, los fundamentos debe ser explicado de una manera que puede ser acordados y entendidos por las personas en este universo-de lo contrario no habrá forma de comunicar acerca de todas estas bellas abstracciones. Abstracciones de nivel más alto en estos otros universos (o "reglas " conjuntos") puede ser explicado en términos de primitivas -, pero las primitivas aún debe ser definido.
Ahora que has mencionado la Geometría Euclidiana, así que vamos a tener que específicamente. La Geometría euclidiana tiene un alto grado de aplicabilidad a este universo-pero es que no este universo; es una visión idealizada de abstracción que puede ser aplicado a este universo.
Por lo tanto, la afirmación anterior acerca de las definiciones de los tipos primitivos se aplica a la Geometría Euclidiana: los primitivos deben ser definidos en términos que pueden ser entendidos por las realidades de este universo. El resto de los términos se puede definir en términos de las primitivas y no, estrictamente hablando, existen en este (o cualquier) universo, excepto como una abstracción.
Como nota final, voy a añadir que a partir de una pedagógico punto de vista, creo que el omnipresente introducción a las matemáticas libros de texto indicando, "Aquí hay algunos términos que no pueden ser definidos por nadie", es un gigantesco error-y puede incluso dar cuenta de una gran parte de la población que consideran a las matemáticas como compleja e incomprensible.
Christian Sievers
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36
Me pregunto si estos textos realmente queremos subrayar que es dificil o imposible definir lo que es un punto. Supongo que sólo quiero enfatizar que ni siquiera lo intentes, porque es útil para describir las relaciones de los puntos con otros indefinido entidades tales como líneas. Esto es porque si usted tiene un teorema que sólo utiliza estos axiomas y tiene algunos de los objetos que se comportan como puntos y los otros objetos de esta axiomática descripción, entonces usted puede solicitar que el teorema de ellos, incluso si no se parecen a nada de lo que normalmente se consideran los puntos y líneas, etc.
