¿Qué rigor tienen las pruebas pictóricas?

Question

La prueba estándar de que $|\mathbb{Q}| = \mathbb{|N|}$ es pictórica. Estoy seguro de que todos los presentes lo han visto. El "zig-zag". Sin embargo, debo admitir que, aunque me convenció "intuitivamente", nunca me satisfizo del todo porque no es una biyección explícita $f:\mathbb{N} \to \mathbb{Q}$ dada por una fórmula real. El hecho de que la prueba sea correcta nos parece "claro", pero esto es, de nuevo, una mera apelación a la intuición. Hay que tener en cuenta que algunas de estas "pruebas por imagen" son simplemente incorrectas: véase La respuesta de Russell O'Connor aquí .

Tengo dos preguntas

¿Es la prueba pictórica que $|\mathbb{Q}| = \mathbb{|N|}$ ¿es riguroso según los estándares de la matemática pura moderna?

Por el bien de este pregunta, supongamos que no hay una fórmula explícita, o que es demasiado difícil de usar en la práctica. Al fin y al cabo, aunque exista una fórmula, la mayoría de las personas que han visto el argumento pictórico no la conocen.

¿Existe una fórmula explícita para la prueba "pictórica"?

Hay algunos problemas menores, por supuesto, a saber, la inclusión de $0$ y variaciones de la trayectoria en "zig-zag", pero no son gran cosa. Una biyección $f:\mathbb{N} \to \mathbb{N} \times \mathbb{N}$ es suficiente; tratar con negativos, fracciones equivalentes, etc. es trivial.

Answer 1

Yo tenía la misma pregunta con la misma prueba (la prueba del zig-zag que mencionas). En algún momento decidí elaborar una prueba formal.

Definir una función biyectiva $f\colon \mathbb N \times \mathbb N \to \mathbb N$ .

En primer lugar, te das cuenta de que ir en zig y luego en zag sólo ayuda a la intuición. De hecho, no necesitas una curva "continua", por lo que es más fácil ir en zig y el zig de nuevo... (por así decirlo). Entonces es fácil contar cuántos puntos necesitas para llenar la primera $k$ diagonales (suma de una serie aritmética: $k(k+1)/2$ ). La pareja $(n,m)$ se encuentra en la diagonal del número $k=n+m$ para que encuentres fácilmente: $$ f(n,m) = \frac{(n+m)(n+m+1)}{2} + m = \frac{n^2+m^2+2nm+3m+n}{2}. $$

Esto me resultó un poco chocante. La función que buscaba es tan simple como un polinomio... Habría esperado algún módulo, o alguna función discontinua extraña.

No obstante, la prueba algebraica de que $f$ es biyectiva no es tan sencilla... pero siguiendo la intuición de la construcción es fácil escribirla.

¿Qué podemos aprender de esto? La demostración pictórica es sin duda la mejor para entender un resultado y recordarlo. Entonces puede ocurrir que la matemática abstracta sea aún más sencilla que nuestra intuición. No siempre las matemáticas sencillas se corresponden con las imágenes sencillas.

Answer 2

Supongo que si realmente Si quisieras, podrías encontrar una biyección explícita asociada a la prueba del "zig-zag". Si eso resulta difícil, se puede idear un "zig-zag" diferente que tenga una biyección más sencilla. Aunque la prueba del "zig-zag" en realidad sólo proporciona un respaldo intuitivo a este teorema:

La unión de un número contable de conjuntos finitos es contable.

Pensando en cada diagonal del "zig-zag" como uno de sus conjuntos finitos, y observando que cada número racional tiene que estar en una de esas diagonales es suficiente para demostrar que $|\mathbb{Q}| = |\mathbb{N}|$ .

---

De forma más general, el objetivo de una prueba es transmitir de forma clara y correcta por qué un teorema es verdadero. A veces es más fácil transmitir por qué a través de palabras escritas, especialmente cuando la demostración es larga, se basa en lemas o teoremas de otros, o simplemente tiene muchos casos. Pero si hay una razón inteligente por la que un teorema es cierto, algún "ah-HA" inteligente que hay que ver, una "prueba por imágenes" puede ser mucho más clara que una redacción formal de una prueba. Sin embargo, se espera que después de que un lector vea una demostración pictórica, tenga suficiente intuición de por qué el teorema es verdadero para escribir una demostración formal si realmente lo necesita.

Después de ver la prueba del "zig-zag", ¿crees que puedes demostrar que la unión de un número contable de conjuntos finitos es contable?

Answer 3

El libro "Topología" de Munkres da tanto la intuición del zig-zag, como la fórmula real de la biyección, como una buena referencia.

Leí en un artículo (no recuerdo el autor, lamentablemente) que las pruebas no deben ser "totalmente" rigurosas. Las "pruebas" tratan de convencer al lector de que es posible construir una prueba completamente rigurosa. Como en este caso, aunque yo tampoco estaba satisfecho con la prueba en zig-zag, transmite la idea de que la biyección existe (sin escribirla explícitamente), y por lo tanto es contable.

Answer 4

El objetivo de algo como la demostración en zig-zag no es ser riguroso en sí mismo, sino convencer a un matemático de que podría hacer fácilmente la demostración rigurosa si le presionaran los dioses del rigor.

Además, se pueden hacer proyecciones muy sucintas de N a Q. Por ejemplo, mapear cada número natural de la forma $2^p 3^q 5^r $ a $(-1)^r p/q$ . Es extremadamente Ahora es fácil ver que si me das un racional, hay un número natural que está mapeado a él.

La desventaja de esto es que si estás enseñando la contabilidad tendrías que comprobar que la "suryección desde" es lo mismo que la "biyección con", lo que a veces no se ha demostrado a estas alturas.

Answer 5

Las imágenes tienen sus puntos fuertes y débiles, pero son tan rigurosas como cualquier otro tipo de prueba informal, es decir, pueden serlo o no dependiendo de lo bien escrita que esté.

Y la prueba del zig-zag es una representación bastante clara de una algoritmo para enumerar los racionales.

En cuanto a tus dudas particulares, no creo que el problema sea realmente la imagen, sino que la función se definió mediante un algoritmo para producir sus valores, en lugar de como una fórmula aritmética.

Formal las pruebas también pueden ser "imágenes"; se puede desarrollar la lógica formal de manera que el "tipo de datos" básico sea algo distinto de las cadenas de símbolos. por ejemplo, los gráficos de diversos tipos suelen ser útiles.