¿Por qué las verdades vacías no son simplemente indefinidas?

Question

Me cuesta entender esto. Según las tablas de verdad, si $P$ es falso, no importa si $Q$ es cierto o no: De cualquier manera, $P \implies Q$ es cierto.

Normalmente cuando veo ejemplos de esto la gente se inventa alguna premisa loca para $P$ como una forma de mostrar que $Q$ puede ser verdadero o falso cuando $P$ es algo escandaloso y obviamente falso, como "Si la luna está hecha de carburadores de manzana-mono envueltos en tocino, entonces soy mejor wakeborder que Gauss".

$P$ es claramente falso, pero $P \implies Q$ es cierto sin importar el estado de $Q$ es, y no entiendo por qué.

¿Estamos diciendo "Si $P$ es falsa, entonces todas las apuestas están cerradas y $Q$ puede ser cualquier cosa, verdadera o falsa, y no contradecir nuestra afirmación anterior, y si no es falsa, debe ser verdadera"?

De lo contrario, ¿por qué no podemos decir que si $P$ es falsa, entonces no podemos hacer ninguna afirmación en un sentido u otro sobre si implica o no algo?

Answer 1

Considera la afirmación:

Todos los múltiplos de 4 son pares.

Dirías que esa afirmación es cierta, ¿verdad?

Así que vamos a formularlo en lenguaje lógico formal:

$\forall x: 4|x \implies 2|x$

(Aquí " $a|b$ " significa " $a$ divide $b$ ", es decir, $b$ es un múltiplo de $a$ .)

Ahora un $\forall$ es verdadera si es verdadera cualquier cosa que se inserte para la variable cuantificada (después de todo, eso es lo que significa "para todos"). Así que intentemos insertar $3$ :

$4|3 \implies 2|3$

Pero espera, $4|3$ es falso. Además, $2|3$ también es falso. Así que la única forma de que la afirmación original sea cierta es que la implicación $\text{false}\implies\text{false}$ da por cierto.

Un argumento similar puede hacerse para $\text{false}\implies\text{true}$ .

Answer 2

Esto se hace para que el cálculo proposicional clásico siga algunas reglas naturales. Vamos a intentar motivar esto, sin entrar en detalles técnicos:

La expresión " $P\Rightarrow Q$ " debe decirse " $P$ implica $Q$ ", o "siempre que $P$ es cierto, $Q$ también es cierto".

La negación de tal expresión sería un contraejemplo, es decir, "hay algún caso en el que $P$ es cierto pero $Q$ no es".

Por lo tanto, asuma $P$ no es cierto. La negación " $\lnot(P\Rightarrow Q)$ " no es cierto en este caso, por nuestra interpretación anterior, por lo que " $P\Rightarrow Q$ " debe ser cierto.

Básicamente utilizamos las reglas de que una expresión o su negación deben ser verdaderas, y que la negación de la negación de una afirmación es la propia afirmación. Se trata de reglas básicas que son naturales y útiles, aunque como consecuencia tenemos que " $P\Rightarrow Q$ "es cierto siempre que $P$ es falso.

Answer 3

En un sentido más informal, me gusta pensar que $P\implies Q$ significa que " $Q$ es al menos tan cierto como $P$ ". Lo que significa que si $P$ es algo falso, entonces cualquier cosa es "más verdadera" que $P$ y, por tanto, la afirmación $P\implies Q$ es cierto.

Answer 4

Intuitivamente, considere $P \implies Q$ para ser una promesa. Por ejemplo: Digo: "Si alguna vez saltas sobre la luna, te pagaré mil dólares".

Ahora, pasa un tiempo y obviamente no has saltado sobre la luna. La pregunta es ahora efectivamente: ¿He cumplido mi promesa de verdad, o la he roto (he sido falso)?

Parece claro que he cumplido esa promesa en particular, concediendo que en ningún momento estaba obligado a darte los mil dólares. De hecho, incluso si te hubiera dado mil dólares por algún otro servicio, no tendría ninguna relación con esa oferta concreta y vacía.

Answer 5

Considere cualquier prueba por contradicción, por ejemplo la prueba de Euclides del infinito primo.

Si $x$ es el mayor número primo ("P"), entonces $y=\prod_{p\,\,prime} p+ 1$ es un primo ("Q").

Se trata de una implicación válida que se puede demostrar con argumentos simples perfectamente válidos. Sin embargo, la premisa nunca se satisface. Pero dentro de la prueba, el lector puede no ver todavía que es un ''sinsentido'' en este paso. Simplemente sigue la lógica paso a paso. El hecho de que la premisa nunca se satisfaga no hace que la lógica (utilizada para derivar la afirmación anterior) sea menos válida. Así que es razonable asumir que la afirmación anterior es Verdadera.