¿Por qué no se puede hacer cálculo en los números racionales?

Question

Una vez me dijeron que uno debe tener noción de los números reales para tomar límites de funciones. No entiendo cómo esto es cierto ya que se puede escribir para todas las funciones de los racionales a los racionales, que voy a denotar $f$, que $$\forall L,a,x:(L,a,x\in\mathbb{Q})\forall \epsilon:(\epsilon>0)\space \exists\delta:(\delta>0)$$ $$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L\leftrightarrow(\mid x-a\mid<\epsilon\leftrightarrow\mid f(x)-L\mid<\delta) $$ Ya que, hasta donde yo sé, funciones como $\mid x\mid$ y relaciones como $<$ se pueden definir en los racionales. ¿Es cierto que no se podría hacer cálculo solo con los números racionales? En este momento no puedo pensar en ninguna función racional que se diferencie en funciones reales. Si es cierto que no es formalmente constructible en los racionales, ¿qué pasa con los números algebraicos?

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Edit

Gracias por toda la ayuda, pero no he visto que nadie aborde explícitamente si podríamos construir integrales solo con números algebraicos. Por favor explique si esto es posible o no.

Answer 1

$\newcommand{\QQ}{\mathbb{Q}}$ Las derivadas realmente no van mal, son las antiderivadas. (EDICIÓN: De hecho, cuanto más lo pienso, esto es solo un síntoma. La causa subyacente es que la continuidad en los racionales es una noción mucho más débil que la continuidad en los reales.)

Considera la función $f : \QQ \to \QQ$ dada por $$f(x) = \begin{cases} 0 & x < \pi \\ 1 & x > \pi \end{cases}$$

Esta función es continua y diferenciable en todas partes en su dominio. Si $x < \pi$, entonces hay un entorno de $x$ en el que $f$ es una constante $0$, por lo que es continua allí, y $f'(x) = 0$. Pero si $x > \pi$, hay un entorno de $x$ en el que $f$ es una constante $1$, por lo que también es continua allí, y $f'(x) = 0$ nuevamente.

Entonces, las antiderivadas de $0$ pueden parecer bastante complicadas. Al agregar funciones como esta, puedes construir funciones arbitrariamente "dentadas" con derivada cero. Como puedes imaginar, esto destruye por completo el Teorema Fundamental del Cálculo y cualquier resultado que se derive de él.

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Esto puede suceder en la recta real hasta cierto punto, pero no es tan malo. La antiderivada tradicional de $1/x$ es $\ln|x| + C$. Pero también lo es la siguiente función: $$ g(x) = \begin{cases} \ln x + C_1 & x > 0 \\ \ln(-x) + C_2 & x < 0 \end{cases} $$

Al cambiar $C_1$ y $C_2$, podemos mover las dos mitades de la recta real de forma completamente independiente. Esto solo es posible porque $1/x$ no está definida en $0$, por lo que hemos "roto" la recta real en ese punto.

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Si te gustan las metáforas físicas absurdas, aquí tienes una:

La recta real es como un palo infinito. Si mueves una sección de él, toda la cosa debe moverse.

Con el ejemplo de $1/x$, has hecho un corte en $x = 0$, y ahora tienes dos medio-palos. Pueden moverse independientemente, pero cada mitad aún debe moverse como una unidad.

Los números racionales son más como una línea de virutas de madera. Realmente no puedes mover un grano por sí solo, pero ciertamente puedes tomar un intervalo y moverlo independientemente de sus vecinos.

Al completar los racionales, estás añadiendo todo el pegamento entre los granos para formar un palo nuevamente. (Espero que nadie de diy.stackexchange esté leyendo esto...)

Answer 2

Esta es una respuesta ligeramente más suave.

Puedes 'hacer cálculo' en la medida en que puedas definir la derivada y quizás calcular algunas cosas. Pero no obtendrás teoremas: los principales teoremas de intervalos (el Teorema del Valor Intermedio y el Teorema del Valor Extremo) dependen en gran medida en el hecho de que los números reales son completos, algo que los racionales no son. De hecho, la 'Propiedad del Valor Intermedio' es equivalente a la completitud de los números reales, y estoy bastante seguro de que la 'Propiedad del Valor Extremo' también lo es.

Continuando desde allí, el Teorema de Rolle depende del Teorema del Valor Extremo, el Teorema del Valor Medio depende del Teorema de Rolle, y el Teorema de Taylor depende del Teorema del Valor Medio.

Yendo en una dirección diferente, Regla de L'Hopital generalmente se demuestra utilizando el Teorema del Valor Medio de Cauchy, que por supuesto depende del Teorema del Valor Medio. No sé si hay alguna forma de demostrar la Regla de L'Hopital sin esta dependencia, pero espero que si es posible, entonces la prueba dependerá crucialmente de la completitud.

Sobre todo, gran parte de la utilidad (y belleza) del cálculo proviene de los teoremas mencionados anteriormente. Entonces, si bien puedes establecer las definiciones habituales en espacios no completos, y quizás incluso obtener algunos resultados parciales, eventualmente llegas a la pregunta: ¿realmente vale la pena llamarlo 'cálculo'? Ciertamente no se compara con la teoría de variables reales.

Esto sin mencionar la falta de una teoría significativa de integrales, que se detalla en otras respuestas.

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Adición: Considera los 'números complejos racionales' $\mathbb{Q}[i]$. Si lo deseas, puedes extender tu cálculo racional a $\mathbb{Q}[i],$ pero no creo que se asemeje mucho al análisis complejo. Como primer ejemplo, el hecho de que la satisfacción de las ecuaciones de Cauchy-Riemann, junto con la continuidad de las derivadas parciales de las partes real e imaginaria, implique diferenciabilidad compleja de una función compleja en un punto depende, al menos en la demostración que he visto, del Teorema del Valor Medio.

Answer 3

Al parecer, la mayoría de las personas están hablando de integrales; permíteme responder con lo primero que se me vino a la mente sobre derivadas.

$$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L\leftrightarrow(\mid x-a\mid<\epsilon\leftrightarrow\mid f(x)-L\mid<\delta) $$

Aunque esta pueda ser una definición adecuada para límites restringidos a racionales, no dice nada acerca de límites no racionales. Que son casi todos ellos. Por ejemplo, la sucesión {1, 1.4, 1.41...} acercándose a $\sqrt{2}$ no tiene límite según esta definición (restringida a racionales).

De igual forma, si buscamos usar la integral definida como el área bajo alguna curva, entonces encontramos que los racionales son un conjunto de medida cero y, por lo tanto, el área sobre ese conjunto es automáticamente cero.

En resumen, debido a que los racionales son un conjunto de medida cero, representan casi nada de los límites en funciones o sucesiones racionales, y ningún área bajo ninguna curva de interés. Encuentro que un poco de conocimiento en teoría de la medida de Lebesgue aclara mucho de inmediato sobre todo esto.

Answer 4

Basándome en tus comentarios, creo que podrías estar especialmente interesado en la teoría de los campos reales cerrados, o más generalmente, en la geometría algebraica real.

Hay un sentido formal y lógico en el que todos los campos reales cerrados son "iguales", y dos ejemplos destacados de campos reales cerrados son los números reales y los números algebraicos reales.

Al aprovechar esta "igualdad", resulta que un gran fragmento del cálculo sigue funcionando de la misma manera si te adhieres a los números algebraicos y las funciones definidas algebraicamente.

Principalmente son nociones como continuidad, completitud o diferenciabilidad las que se trasladan bien; también se pueden desarrollar otras técnicas, pero creo que tienden más a seguir la línea de la geometría algebraica que a la del cálculo de los números reales.

Answer 5

La respuesta simple aquí es que la integral de Riemann no permite tener discontinuidades infinitas como esa; este es un fuerte motivador para algunos usos de la Integración de Lebesgue. Sin embargo, incluso si consideramos la función $$f(x)=\begin{cases}0,&\text{si }x\in \mathbb{Q}\\ 1,&\text{si }x\notin \mathbb{Q}\;. \end{cases}$$ y tratamos de integrar sobre el dominio $x \in [0,1]$ encontramos que $$\int_{[0,1]} f(t) dt = \int_{[0,1] - \mathbb Q} f(t) dt + \int_{\mathbb Q} f(t) dt = \int_{[0,1]- \mathbb Q} dt= 1$$
Con medida $0$, los racionales simplemente no son lo suficientemente fuertes para muchos usos incluso en este contexto... los racionales son contables, y puedes imaginar una integral sobre los racionales como una integral sobre una función real con agujeros infinitos. Esto rompe muchos de los requisitos de las propiedades simples de integral y derivada, no cumple con ecuaciones diferenciales básicas, etc. Ahora, puedes definir tu propia integral sobre los racionales y encontrar qué propiedades satisface, pero pronto alcanzarás tus limitaciones. Ten en cuenta que el concepto de la derivada también se vuelve un poco más difícil de definir en cualquier punto racional debido a la countabilidad del conjunto, como resultado de tener que jugar con la definición estándar de continuidad (de nuevo, podrías simplemente tomar la función inversa de la integral que dije que podrías diseñar anteriormente, pero obtendrás una derivada fundamentalmente diferente)