Ejemplos de problemas que son más fáciles en el caso infinito que en el finito.

Question

Busco ejemplos de problemas que sean más fáciles en el caso infinito que en el finito. Realmente no se me ocurren ninguno bueno por ahora, pero me aseguraré de añadir alguno cuando lo haga.

Answer 1

Se puede calcular el valor de $$\int_{0}^{\infty}e^{-t^{2}}\,\mathrm{d}t$$ exactamente. Esto se conoce como la integral de Gauss, y tiene su propia Página de Wikipedia. La respuesta resulta ser $\frac{1}{2}\sqrt{\pi}.$

Pero no se puede hacer lo mismo con $$\int_{0}^{x}e^{-t^{2}}\,\mathrm{d}t$$ porque la antiderivada del integrando no es una función elemental. Por eso hemos dado un nombre a la función de error $$\mathrm{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x}e^{-t^{2}}\,\mathrm{d}t,$$ que también tiene su propio Página de Wikipedia.

En ese sentido, el caso infinito es más fácil que el finito.

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Adenda: El mismo fenómeno ocurre para variantes de esta integral, en particular podemos transformar el integrando para evaluar $$\int_{-\infty}^{\infty}ae^{-(t-b)^{2}/(2c^{2})}\,\mathrm{d}t = \sqrt{2}a\lvert c\rvert \sqrt{\pi}$$ como se detalla aquí en Wikipedia.

Answer 2

Lo primero que se me ocurriría sería pensar en series frente a sumas parciales (o integrales impropias frente a integrales definidas), p. ej.

$$ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} \;=\; e $$

$$ \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} \;=\; \frac{e \cdot \Gamma(n+1,1)}{n!} $$

Answer 3

$\min c^Tx$

sujeto a $x \in P$

donde $P$ es un poliédrico acotado puede resolverse fácilmente por el método de programación lineal. El método del elipsoide muestra que el problema está en $P$ clase.

$\min c^Tx$

sujeto a $x \in P \cap \mathbb{Z}^d$

que impone una restricción de números enteros aumentan la dificultad de la pregunta.

Aquí $P$ es un conjunto infinito en el sentido de que contiene infinitos puntos pero $P \cap \mathbb{Z}^d$ sólo contiene un número finito de puntos. El problema de programación lineal es más sencillo que el de programación entera.

Answer 4

Embalaje circular . Embalaje en un plano (caso infinito) frente a embalaje en arbitrariamente área acotada (caso finito).

Answer 5

Demostrar que un polinomio es cero

Suponga que tiene un polinomio desconocido $f$ de grado $d$ pero puedes decir cosas sobre los valores de $f$ .

Si trabaja sobre un infinito una prueba sencilla es comprobar si $f(a) = 0$ para $d+1$ valores distintos de $a$ .

Si trabaja sobre un finito campo de $d$ elementos o menos, se puede tener el poco envidiable problema de que $f(a) = 0$ para cada $a$ incluso cuando el polinomio $f(x)$ es distinto de cero, por lo que este enfoque no funcionará en general.

(ejemplo: $f(x) = x^q - x$ al trabajar sobre el campo de $q$ elementos)