Probar la continuidad de una función en cada punto irracional y la discontinuidad en cada punto racional.

Question

Considere la función:

$f(x)= \begin {cases} 1/n \quad & \text {if $ x= m/n $ in simplest form} \\ 0 \quad & \text {if $ x \in \mathbb {R} \setminus\mathbb {Q} $} \end {cases} $

Demuestra que la función es continua en cada punto irracional y también que la función no es continua en cada punto racional. También podemos decir que la función es continua en algún punto $k$ si $ \displaystyle\lim_ {x \to k} f(x)=f(k)$ .

Estaba pensando en hacer una prueba del delta de la épsilon al revés usando el hecho de que $ \mathbb {Q}$ es denso en $ \mathbb {R}$ para los puntos racionales e irracionales. Cualquier forma de expandir esto es bienvenida.

Answer 1

Esta función se conoce como función de Thomae y es un excelente ejemplo de una función que es continua en un número incontablemente infinito de puntos mientras que es discontinua en un número contablemente infinito de puntos. Nótese que el resultado inverso no es posible, es decir, no se puede tener una función que sea discontinua en un conjunto denso incontablemente infinito y continua en un conjunto denso contablemente infinito.

En cuanto a la prueba, la parte de la discontinuidad se desprende del hecho de que los irracionales son densos en $ R $ como bien has pensado. La parte de la continuidad es un poco más complicada y ayudaría emplear el principio de Arquímedes junto con el $ \epsilon$ - $\delta $ definición.

Crudamente, mira $ x=\sqrt3 $ , ver que utilizando la expansión decimal no terminada, es decir $ \sqrt 3=1.732148\ldots $ se puede forjar una secuencia de racionales $ \ \ 1 , 17/10 ,173/100 ,\ldots \ $ que converge a $ x $ mientras que al mismo tiempo su $ f(x_n) $ es $ \ \ 1/10,1/100,1/1000,\ldots \ $ que converge a $ 0 $ que no es más que $ f(x) $ . Esto es simplemente una ilustración de la continuidad y no una prueba rigurosa.

Answer 2

No se puede hacer esto utilizando reglas simples sobre los límites, como la regla de De l'Hôpital o la continuidad de las "expresiones analíticas", etc. Tienes que volver a la definición real de continuidad para resolver este problema. Aquí tienes algunas pistas:

En primer lugar quiere demostrar diferentes cosas sobre un dado $x\in{\mathbb R}$ dependiendo de si $x$ es racional o irracional.

Si $x$ es racional, entonces $f(x)$ es un cierto número positivo. Se afirma que $f$ no es continua en $x$ . Supongamos por el contrario que $f$ es continua en $x$ . Entonces hay un barrio $U:=U_\delta(x)$ tal que $f(t)>{f(x)\over2}$ para todos $t\in U$ . ¿Hm?

Si $x$ es irracional entonces $f(x)=0$ . Se afirma que $f$ es continua en $x$ . Esto significa que para cualquier $\epsilon>0$ deberíamos ser capaces de producir un barrio $U:=U_\delta(x)$ tal que $f(t)<\epsilon$ para todos $t\in U$ . Qué puntos $t\in{\mathbb R}$ podría violar la condición $f(t)<\epsilon\ $ ?