¿Qué número aparece con más frecuencia en un $n \times n$ ¿tabla de multiplicar?

Question

La cuestión es precisamente la que se plantea en el título:

¿Qué número aparece con más frecuencia en un $n \times n$ ¿tabla de multiplicar?

Nota: Por "un $n \times n$ tabla de multiplicar" me refiero al multiconjunto

$$M_n := \{a \cdot b: \mathbb{Z}^{+}\ni a, b \leq n \} $$

Me doy cuenta de que la respuesta suele ser no único - aunque se podría hacer así pidiendo la entrada mínima en caso de empate-, pero me pregunto si existe un planteamiento general para esta cuestión.

Yo soy no estoy seguro sobre lo difícil que es este problema; por ejemplo, una cuestión relacionada sobre entradas distintas resulta ser bastante no trivial: Véase la discusión del problema de la Tabla de Multiplicación de Erdos, que fue formulado a mediados del siglo XX y resuelto sólo recientemente por Ford (2008), en el post de MathOverflow aquí .

Answer 1

He aquí algunos datos experimentales. Acabo de utilizar la fuerza bruta para calcular el número (más pequeño) más ocurrente $a_n$ y su multiplicidad $b_n$ para $1\leq n\leq 1000$ . Por ejemplo, $$a_{1000}=27720=2^3\cdot 3^2\cdot5\cdot7\cdot11\ , \qquad b_{1000}=58\ .$$ Las siguientes figuras muestran gráficos de lista de los $a_n$ y el $b_n$ . Tenga en cuenta que el $a_n$ no son monótonamente crecientes.