Si $a,b$ son positivos o negativos, al mismo tiempo, luego de escala va a hacer el truco. Deje $$x_1' = c x_1, x_2' = d x_2,$$
$$
\frac{\partial^2 u}{\partial x_1'^2} = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 u}{\partial x_1^2}, \quad \frac{\partial^2 u}{\partial x_2'^2} = \frac{1}{d^2}\frac{\partial^2 u}{\partial x_2^2}.
$$
Comparando con la ecuación tenemos $c = 1/\sqrt{a}$$d = 1/\sqrt{b}$, la solución fundamental a
$$
un\frac{\partial^2 u}{\partial x_1^2}+ b\frac{\partial^2 u}{\partial x_2^2}= \frac{\partial^2 u}{\partial x_1'^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial x_2'^2}= \delta_{(0,0)}(x_1,x_2)
$$
es
$$
E = \frac{1}{4\pi} \ln(x_1'^2 + x_2'^2) = \frac{1}{4\pi} \ln\left(\frac{x_1^2}{a} + \frac{x_2^2}{b}\right).
$$
Para comprobar esto, aviso de tu operador $\mathcal{D}$ actuando $u$ es
$$
\mathcal{D}u = \nabla \cdot (\nabla u) = \frac{\partial^2 u}{\partial x_1^2}+ b\frac{\partial^2 u}{\partial x_2^2}, \quad \text{ donde } A = \begin{pmatrix}a &0\\0&b\end{pmatrix}.
$$
$\nabla$ es sólo $D$, e $\nabla \cdot $ es la divergencia del operador.
Usted puede encontrar que
$$
\nabla u = \frac{1}{4\pi}\left(\frac{2 b x_1}{b x_1^2+x_2^2}, \frac{2 ax_2}{b x_1^2+x_2^2}\right),
$$
y actuando $A$ $\nabla u$ tenemos:
$$
Un\nabla u = \frac{1}{4\pi}\left(\frac{2 ab x_1}{b x_1^2+x_2^2}, \frac{2 bx_2}{b x_1^2+x_2^2}\right).
$$
Al $x_1,x_2\neq 0$, tomar divergencia:
$$
\nabla \cdot (\nabla u) = \frac{\partial }{\partial x_1} \left(\frac{2 ab x_1}{b x_1^2+x_2^2}\right)+ \frac{\partial }{\partial x_2} \left(\frac{2 bx_2}{b x_1^2+x_2^2}\right) = 0.
$$
Al $x_1,x_2 = 0$, puede hacer referencia a mi respuesta en esta pregunta: Verde del teorema y de flujo de
y la divergencia es una delta de Dirac (para nosotros tienen un $1/(4\pi)$ factor).
Si $a,b$ tienen signos diferentes, entonces esto no es una elíptica operador más, pero 1D una ola de operador, la solución de onda plana será más bien dado en la fórmula de D'Alembert, y que la solución fundamental está dada por la función escalón unitario $H(x_2 -\sqrt{-b/a} x_1 )$.
