Cómo demostrar una desigualdad

Question

$a$ , $b$ , $c$ , $d$ son números racionales y todos $> 0$ .

$\max \left\{\dfrac{a}{b} , \dfrac{c}{d}\right\} \geq \dfrac{a+c}{b+d}\geq \min \left\{\dfrac{a}{b} , \dfrac{c}{d}\right\}$

Espero que alguien pueda ayudarme con esto. ¿Cómo se puede probar la validez? Gracias de antemano.

Answer 1

$$\frac{a+c}{b+d}-\frac ab=\frac{b(a+c)-a(b+d)}{(b+d)b}=\frac{bc-ad}{b(b+d)}$$

De la misma manera, $$\frac{a+c}{b+d}-\frac cd=\cdots=\frac{ad-bc}{(b+d)d}$$

Obsérvese que los signos de los términos son opuestos como $a,b,c,d>0$

Answer 2

Dejemos que $m=\min\{a/b,c/d\}$ . Esto significa que $$ m \le \frac ab \qquad \text{and} \qquad m\le \frac cd,$$ lo que equivale a $bm\le a$ et $dm\le c$ . Por lo tanto, obtenemos $$a+c\ge bm+dm=(b+d)m$$ lo que equivale a $$\frac{a+c}{b+d}\ge m.$$

La prueba de la desigualdad para el máximo es similar.

(Nótese que en todos los pasos en los que hemos multiplicado la desigualdad por algún número, éste ha sido positivo. Por lo tanto, el canto de la desigualdad no se modificó).