A continuación están algunas notables variaciones en Euclid de la clásica prueba de que existen infinitos números primos. La primera es una simplificación y la segunda es una generalización para anillos con pocas unidades.
TEOREMA de $\rm\ \ N \ N: (N+1) \;$ ha en un conjunto más amplio de factores primos que $\:\rm N > 0\:$.
Prueba $\ $ Desde $\rm N+1 > 1\:$ tiene un factor primo de $\rm P\:.\ $ $\rm P$ no se puede dividir $\rm N$ desde $\rm N$ es coprime $\rm N+1\ $ (viz. si $\rm\: P$ divide a $\rm N+1\:$ y $\rm N$ entonces $\rm P$ divide a su diferencia de $\rm N+1 - N = 1\:,\: $ una contradicción). Así que los factores primos de $\rm\ N: N\:(N+1)$ de incluir todos los de $\rm N$ y al menos uno de los prime $\rm P$ no dividir $\rm$N.
COROLARIO $\ \ $ Existen infinitos números primos.
Prueba $\ $ Iteración $\rm\ N: N\N\: (N+1)\: $ produce enteros con un número ilimitado de factores primos.
A continuación, la generalización de Euclides clásico argumento, es una simple prueba de que un infinito anillo
tiene infinidad de máxima (así prime) ideales si se tiene un menor número de unidades de los elementos que
(es decir, menor cardinalidad). La idea clave es que Euclides de la construcción de un nuevo primer
se generaliza a partir de los elementos ideales, es decir, dado un poco de máxima ideales $\rm P_1,\ldots,P_k$
a continuación, una simple caja argumento que emplean a $\rm CRT$ implica que $\rm 1 + P_1\cdots P_k$
contiene un nonunit, que se encuentra en algunas máxima ideal $\rm P$ que, por construcción,
es comaximal (tan distintas) de la previa max ideales $\rm P_i\:.\:$ Abajo está la plena prueba, extraído a partir de algunos de mis antiguos sci.matemáticas/AAA/AoPS puestos.
TEOREMA de $\ $ infinito anillo $\rm R$ ha infinitamente muchas max ideales
si tiene menos unidades $\rm U = U(R)$ que tiene elementos, es decir, $\rm\:|U| < |R|$.
Prueba $\rm\ \ R$ tiene un máximo ideal $\rm P_1\:,\:$ desde el nonunit $\rm\: 0\:$ se encuentra en algunas max ideal.
Inductivo, supongamos que $\rm P_1,\ldots,P_k$ son máximos ideales en $\rm R$, con $\rm J.$
$\rm Caso\ 1: \; 1 + J \no\subconjunto de U\:.\:$ Por lo que $\rm 1 + J$ contiene un nonunit $\rm p,$ acostado en algunos max
ideal $\rm P.$
Es nuevo: $\rm\: P \neq P_i\:$ desde $\rm\: P + P_i = 1\:$ través $\rm\: p \P,\ 1 - p \J \subconjunto P_i$
$\rm Caso\ 2: \; 1 + J \subconjunto de U$ es imposible por los siguientes $\,$ palomar $\:$ argumento.
$\rm R/J = R_1 \times \cdots \times R_k,\ R_i = R/P_i\:$ por el Teorema del Resto Chino.
Podemos deducir que $\rm\ |U(R/J)| \leq |U|\ $ porque $\rm\ uv \1 + J \subconjunto de U \Rightarrow u \en la U.$
Por lo tanto $\rm|U(R_i)| \leq |U(R/J)| \leq |U|\:$ a través de la inyección de $\rm u \mapsto (1,1,\ldots,u,\ldots,1,1).$
$\rm R_i$ campo $\rm\: \Rightarrow\ |R| > 1 + |U| \geq |R_i|,$ y también $\rm|J| \leq |U| < |R|$ través $\rm 1 + J \subconjunto de U.$
Por lo tanto $\rm|R| = |R/J|\ |J| = |R_1|\ \cdots |R_k|\ |J|\:$ rendimientos de la contradicción que
el infinito $\rm|R|$ es finito, producto de la menor de los cardenales. $\ \ $ QED
Recuerdo el placer de descubrir este "fewunit" generalización de Euclides de la prueba y otros teoremas relacionados
mientras que la lectura de Kaplansky del clásico libro de texto Conmutativa Anillos
como el MIT de pregrado. Hay Kaplansky presenta una simplificación de la integral de dominio
la versión de ejercicio $8$ en la Sección $1$-$1\:,\:$ es decir,
(Este ejercicio se ofrece como una modernización del teorema de Euclides sobre
la infinitud de los números primos.) Demostrar que un infinito integral de dominio con
con un número finito de unidades tiene un número infinito de máxima ideales.
Recomiendo Kap del clásico libro de texto para todos los interesados
en el dominio de la propiedad conmutativa anillo de la teoría. De hecho, yo recomiendo
todo por Kaplansky - es casi siempre muy perspicaz y
elegante. Aprender de los maestros! Para más información sobre Kaplansky ver
este interesante NAMS papel que incluye citas de eminentes
los matemáticos (Bajo, Eisenbud, Kadison, Lam, Rotman, el Cisne, etc).
Me gustó el algebraico forma de mirar las cosas.
Estoy, además, fascinado cuando la algebraicas
el método se aplica a infinito de objetos.
$\ $--Irving Kaplansky
NOTA $ \ $ $ $ El lector familiarizado con el Jacobson radical puede notar que puede ser empleada para describir la relación entre las unidades en $\rm R$ y $\rm R/J\:$ utilizados en la anterior prueba. Es decir,
TEOREMA de $\ $ TFAE en el anillo $\rm\:I\:$ con unidades $\rm\:U,\:$ ideal $\rm\:J,\:$ y Jacobson radical $\rm\:Jac(R)\:.$
$\rm(1)\quad J \subseteq Jac(R),\quad $ es decir, $\rm\:J\:$ se encuentra en cada máx ideal $\rm\M\:$ de $\rm\:I\:.$
$\rm(2)\quad 1+J \subseteq U,\quad\ \ $ es decir, $\rm\: 1 + j\:$ es una unidad por cada $\rm\: j \J\:.$
$\rm(3)\quad I\neq 1\ \Rightarrow\ I+J \neq 1,\qquad\ $ es decir, adecuada a los ideales de sobrevivir en $\rm\:R/J\:.$
$\rm(4)\quad M\:$ max $\rm\:\Rightarrow M+J \ne 1,\quad $ es decir, max ideales sobrevivir en $\rm\:R/J\:.$
Prueba $\: $ (boceto) $ \ $ $\rm\:i \I,\ j \J,\:$ y max ideal $\rm\:M$
$\rm(1\Rightarrow 2)\quad j \todos\ M\ \Rightarrow\ 1+j \no\ M\ \Rightarrow\ 1+j\:$ unidad.
$\rm(2\Rightarrow 3)\quad i+j = 1\ \Rightarrow\ 1-j = i\:$ unidad $\rm\:\Rightarrow I = 1\:.$
$\rm(3\Rightarrow 4)\ \:$ Deja que $\rm\:I = M\:$ max.
$\rm(4\Rightarrow 1)\quad M+J \ne 1 \Rightarrow\ J \subseteq M\:$ $\rm\M\:$ max.
