¿Hay una partición de los números reales en infinitamente muchos subconjuntos cerrados para que no infinita Unión de estos subconjuntos (excepto el conjunto de los números reales) es cerrada?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Matthew Scouten
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Tal vez vale la pena estado un resultado más débil que yo era capaz de llegar. Hay una partición de $\mathbb R$ en conjuntos de cardinalidad $2$ tal de que no hay incontables unión de estos conjuntos (distintos de $\mathbb R$) es cerrado.
La cardinalidad del conjunto de $\cal F$ de cerrado adecuada subconjuntos de a $\mathbb R$ es el de la continuidad, por lo que podemos bien orden por el primer ordinal de cardinalidad $\cal c$. Así pues, tenemos un buen orden $\prec$ $\cal F$ en el que, para cada una de las $A \in \cal F$, el conjunto de $B \in \cal F$ tal que $B \prec A$ tiene cardinalidad estrictamente menor que $\cal c$. Ahora el uso de la recursión transfinita, para cada una de las $A \in \cal F$, tome $P_A$ como sigue. Si $A \backslash \bigcup_{B \prec A} P_B$ es no vacío, elegir uno de sus miembros para que estén en $P_A$. También elija uno o dos de los miembros de la de $A^c \backslash \bigcup_{B \prec A} P_B$$P_A$, por lo que el $P_A$ tiene dos miembros. Tenga en cuenta que el conjunto abierto no vacío $A^c$ tiene cardinalidad $\cal c$, que es mayor que la cardinalidad de a $\bigcup_{B \prec A} P_B$, por lo que esta es siempre posible. Cualquier innumerables subconjunto cerrado de $\mathbb R$ tiene cardinalidad $\cal c$, por lo que si $A$ es incontable $P_A$ contendrá un miembro de $A$.
Por la construcción de la $P_A$ son todos distintos. Su unión es todo de $\mathbb R$, ya que cualquier $x$ $P_{\{x\}}$ si no es, en cierto $P_B$$B \prec \{x\}$. Y no innumerable conjunto cerrado $C$ puede ser una unión de los conjuntos de $P_A$: una unión tendría que incluir el $P_C$, porque uno de los miembros de $P_C$$C$, pero $P_C$ también contiene un miembro de $C^c$.
