¿Una función continua $f:X\longrightarrow Y$ de espacios topológicos con subconjuntos $A$ y $B$ $X$ % satisfactorio $\overline{A}=\overline{B}$, es cierto que $\overline{f(A)}=\overline{f(B)}$? Intuitivamente parece así, pero si alguien me podía caminar a través de cómo esto podría ser probado, estaría muy agradecido, saludos.
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Pedro Tamaroff
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También se podrían observar que
La PROPOSICIÓN $f:(X,\mathcal I)\to (Y,\mathcal L)$ es continua si y sólo si para cada $A\subseteq X$, $f(\bar A)\subseteq \overline{f(A)}$
PRUEBA Supongamos que $f$ es continua. Dado un subconjunto $A$,$f(A)\subseteq \overline{f(A)}$, lo que significa que $A\subseteq f^{-1}f(A)\subseteq f^{-1}\overline{f(A)}$. Este último conjunto es cerrado, por lo $\bar A\subseteq f^{-1}\overline{f(A)}$, lo que significa que $f(\bar A)\subseteq \overline{f(A)}$.
Por el contrario, supongamos que $f(\bar A)\subseteq \overline{f(A)}$ por cada $A\subseteq X$. Deje $F$ ser cerrado en $Y$. A continuación,$f(\overline{f^{-1}(F)})\subseteq \overline{f({f^{-1}(F)})}\subseteq \bar F=F $. Por lo tanto $\overline{f^{-1}(F)}\subseteq f^{-1}(F)$. Desde el conversar sostiene siempre, tenemos $f^{-1}(F)=\overline {f^{-1}(F)}$, por lo que este conjunto es cerrado y $f$ es continua.
NOTA De la anterior proposición, se puede ver la condición de $f(\bar A)\subseteq \overline{f(A)}$ por cada $A\subseteq X$ puede ser tomado como la definición de continuidad en el cierre de espacios.
JoshL
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Aquí está una respuesta indirecta o parcial. Porque tenemos $\bar{A}=\bar{B}$ $A \subseteq \bar{B}$ y $B \subseteq \bar{A}$. Por lo tanto, $\overline{f(A)} \subseteq \overline{f(\bar{B})}$ y $\overline{f(B)} \subseteq \overline{f(\bar{A})}$. Si $\overline{f(\bar{B})} = \overline{f(B)}$ y $\overline{f(\bar{A})} = \overline{f(A)}$ entonces terminados.
Por lo tanto, es suficiente para demostrar que, para cada conjunto de $C \subseteq X$, $\overline{f(C)} = \overline{f(\bar{C})}$. La izquierda a derecha inclusión para estos dos conjuntos es inmediata porque $C \subseteq \bar{C}$. El derecho a la inserción izquierda $\overline{f(\bar{C})} \subseteq \overline{f(C)}$ es todo lo que queda.
Elegir $y\in \overline {f(A)}$ y deje $U$ ser un barrio abierto de $y$. Debemos mostrar que $U\cap f(B)\ne \emptyset$. $f(A)\cap U\ne\emptyset$ Allí es una $x_0\in A$ así que $f(x_0)\in U$. Ahora, $x_0\in \overline B$ $f^{-1}(U)$ es un barrio abierto de $x_0$. Por lo tanto existe $x_1\in B\cap f^{-1}(U)$. Por lo tanto $f(x_1)\in U\cap f(b)$ lo que implica que el $y\in \overline {f(B)}$.
