Buscar $x$ y $y$ $2^{x-y} + 1 = 2^x,$ donde $x,y$ son números enteros

Question

No tengo ni idea de qué hacer ahora.

¿Hay alguna manera de encontrar el enteros$x$ y$y$ en factoring?

Gracias.

Answer 1

Dividiendo por $2^x$ da $$ 2 ^ {-x} + 2 ^ {-y} = 1 $$ desde $2^{x}\gt0$ para cualquier $x$, tenemos que tener ambos $2^{-x}\lt1$ y $2^{-y}\lt1$; es decir, $x\gt0$ y $y\gt0$. Desde $x$ y $y$ son números enteros, el más grande que el % puede ser $2^{-x}$o $2^{-y}$ es $\frac12$ y su suma es $1$, ambos deben ser $\frac12$. Significa $x=y=1$.

Answer 2

Como una alternativa (el uso de factoring), tenga en cuenta que$2^{x-y}=\frac{2^x}{2^y},$, por lo que multiplicando ambos lados por el número distinto de cero $2^y$ obtiene la ecuación equivalente $$2^x+2^y=2^x2^y,$$ which in turn yields $$0=2^x2^y-2^x-2^y\\0=2^x(2^y-1)-2^y\\0=2^x(2^y-1)-2^y+1-1\\0=2^x(2^y-1)-(2^y-1)-1\\0=(2^x-1)(2^y-1)-1\\1=(2^x-1)(2^y-1)$$

Tenga en cuenta que no podemos tener $x=0$ o $y=0$. (Por qué?) También se $x$ $y$ deben tener el mismo signo, porque si no, a continuación, $(2^x-1)(2^y-1)$ es negativo. Si $x,y$ son negativos, a continuación, $(2^x-1)(2^y-1)$ es positivo, pero en menos de $1,$, por lo que debemos tener $x,y$ positivo.

Ahora, para cualesquiera enteros positivos $x,y,$ tenemos $x,y\ge 1$ (desde $x,y$ enteros), por lo $2^x,2^y\ge 2,$ $2^x-1,2^y-1\ge 1,$ $(2^x-1)(2^y-1)\ge 1.$ Igualdad se mantiene en el último caso, precisamente, es cuando se sostiene en el primer caso, que es, precisamente al $x,y=1.$

Answer 3

Sugerencia Si cualquiera de$x$ o$x-y$ es negativo, multiplicando por$2^z$ donde$-z$ es el aquel de$x$ y$x-y$ está más cerca de$- \infty$, se obtiene y la ecuación del tipo

ps

Entonces, como$$2^a \pm 1 =2^b \,.$% uno de $a \geq 0, b\geq 0$o$2^{a}$ tiene que ser impar.

Answer 4

¿Sugerencia: si son números enteros, que las energías de dos son 1 apart?

$2^x>1$ so $x > 0$

Si $x<y$ y $2^{x-y}\leq\frac{1}{2}$ $1<2^x \leq \frac32$ y esto es imposible.

$x \geq y$ Y $2^{x-y}$ y $2^x$ son potencias de enteros de $2$ y uno aparte.

$x-y=0$ Y $x=1$, por lo tanto $y=1$.

Answer 5

Sugerencia: ¿Qué potencias de dos son impares? Sólo hay uno.

Esto que te diga qué $x - y$ es y de se puede trabajar lo que $x$ y $y$.

Ya se sabe que tanto $x$ y $y$ son números enteros y $2^x \gt 1$ $2^x$ debe ser un entero porque las potencias de enteros sólo de 2 que no son números enteros son menos de 1% que $2^{x-y}$también debe ser un entero.