simplificar la suma del factorial (paseo aleatorio)

Question

Sospecho que la expresión

$$\sum_{n=0}^N \frac{(N-2n)^2}{n!(N-n)!}$$

se simplifica a

$$\frac{2^N}{(N-1)!}$$

Pero no encuentro los pasos intermedios. ¿Puede alguien darme una pista de cómo puedo deducir este resultado?

(La expresión surge al calcular la posición final media tras un paseo aleatorio de $N$ pasos).

Answer 1

Dejemos que $S_N$ sea esa suma. Entonces la función generadora de $S_N$ es $$ \sum_{N=0}^{\infty} S_Nx^N = \sum_{N=0}^{\infty} \sum_{n=0}^N\frac{(N-2n)^2}{n!(N-n)!}x^N = \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{N=0}^{\infty}\frac{(N-n)^2}{n!N!}x^{N+n} = \\ \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{N=0}^{\infty}\frac{n+N+2}{n!N!}x^{N+1+n} -2\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{N=0}^{\infty} \frac{1}{n!N!}x^{N+n+2} =\\ \frac{\partial}{\partial x}\left(x^2 e^{2x}\right) - 2x^2e^{2x} = 2xe^{2x}. $$

Los coeficientes de esta última función son, efectivamente, los que usted conjetura.