¿Existe un toro de Möbius?

Question

¿El concepto de Toro de Möbius tiene sentido: tomar un cilindro (en lugar de un rectángulo como en el caso del Banda de Möbius ) y retorcerlo antes de unir sus extremos? ¿O el toro retorcido resultante será indistinguible del toro normal en cualquier aspecto relevante?

[Esto equivale al conocido Möbius tira debería llamarse Möbius cilindro pero tendría tanto en común con un toroide que preferí llamarlo Möbius toro .]

Incrustados en el espacio euclidiano, el toro retorcido y el no retorcido "parecen" iguales -a diferencia de la banda de Möbius y el cilindro-, la diferencia estaría sólo en sus propiedades intrínsecas. Pero, ¿puede haber tales diferencias? ¿Y cómo especificarlas?

PD: He publicado una pregunta de seguimiento aquí .

Answer 1

Como se ha comentado anteriormente: Lo que se obtiene es la botella Klein. Dicho de otro modo: El resultado es lo que se obtiene cuando se toman dos tiras de Möbius (que tienen ambas un límite) y se pegan ambos límites (lo que no funciona cuando se incrusta en el espacio 3d pero funciona en teoría). Véase esta imagen de http://im-possible.info/english/articles/klein-bottle/ :

Answer 2

Al experimentar con modelos tridimensionales, desarrollé un método para retorcer un toroide de sección transversal arbitraria. Llamé a estas formas Möbioides. Por supuesto, si la sección transversal es circular, el resultado será indistinto. Lo que hice fue considerar cilindros de sección transversal no circular. Sin embargo, entonces los ángulos de torsión se cuantifican. Dependiendo de la sección transversal concreta y del número de torsiones, se pueden obtener formas con una o más superficies. Las figuras siguientes muestran una sección transversal de astroide con una torsión de $\pi/4$ (izquierda) y una sección transversal pentacúspide con seis giros de $2\pi/5$ (derecha). Cada una tiene una única superficie. De nuevo, no todos los giros conducen a una única superficie. Puede encontrar más imágenes y algunas animaciones en Una nueva vuelta de tuerca a Möbius 1 .

1 Versión archivada en caso de que el enlace anterior muera alguna vez

Answer 3

Lo torciste por $\pi$ y se obtiene ese "toro de Möbius" Möbioid.

Gíralo por $\frac{2\pi}3$ y se obtiene un bonito triángulo imposible

Triángulo de Penrose https://en.wikipedia.org/wiki/Penrose_triangle

Acabo de darme cuenta de que regularmente embaldosa el toro con tres pares de hexágonos rectangulares tóricos (cóncavos) del mismo color, todas esas seis caras conectadas exactamente como un cubo. Contento cúbico (aunque diferente topología) pero con hexágonos, en lugar de cuadrados...

Lo torciste por $e$ o cualquier otro número irracional, no necesariamente trascendental, y cualquier astroide subyacente, rectangular u otra sección transversal se suavizará en un borroso Möbioide grueso-toroidal (dimensión Hausdorff "superficial" de tres, en lugar de la normal de dos).

Answer 4

Se trata de una cuestión de límites entre el espacio bidimensional y el tridimensional. Por ejemplo, corta en bisectriz un tubo de bicicleta que esté plano, traza una línea verde por un lado del tubo, traza una línea roja por el otro lado del tubo. A continuación, gira uno de los extremos 180 grados y cúmplelo con el otro. La línea verde se une a la línea roja en ambos lados del tubo. No se parece en nada a una botella Klein. Si ahora se infla el tubo de un plano bidimensional a un toroide tridimensional, en efecto se crea un bucle infinito en el que, digamos, una hormiga que viaja en una dirección a lo largo del interior del tubo tiene que recorrer el doble de distancia para volver a su punto de partida original. Esta topografía no se encuentra en la naturaleza, al menos no en la superficie de una esfera. Si el tubo se amplía lo suficiente, digamos que hasta el tamaño de un universo, se tiene un espacio finito DENTRO del tubo, aunque es muy posible tener un espacio infinito en el exterior del tubo, rodeándolo. Simplemente no lo sabemos en este momento, ya que todo lo que podemos comprender es nuestro espacio interior. Lo único que sabemos es que existimos en un espacio bidimensional cerrado (finito) dentro de un espacio tridimensional abierto (infinito). Decir que vivimos en un mundo tridimensional (altura, longitud, profundidad) es, en el mejor de los casos, ingenuo.