Encontrar los generadores de un subgrupo de $\mathrm{SL}_2(\mathbb Z)$

Question

Estoy tratando de resolver el siguiente problema:

Deje $T_{ij}(c)\in\mathrm{SL}_2(\mathbb Z)\ (i\neq j)$ ser de la escuela primaria de la matriz que representa a la primaria de la fila de la operación de la adición de la $j$-ésima fila multiplicada por $c$ $i$- ésima fila, $A:=T_{12}(2)$$B:=T_{21}(2)$. Deje $G$ ser un subgrupo $\left\{ \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\in\mathrm{SL}_2(\mathbb Z):a\equiv d\equiv 1 \pmod 4, b\equiv c\equiv 0 \pmod 2 \right\}$. Mostrar que $G = \langle A, B\rangle$.

Que $\langle A,B\rangle\subset G$ puede ser demostrado fácilmente por inducción. El problema es a la inversa de la inclusión. Traté de mostrar, mediante una analogía con el hecho de que $\mathrm{SL}_2$ es generado por $T_{ij}(c)$. He intentado mostrar que si $C\in G$ se escribe como un producto de $C_1\dots C_n$, donde cada una de las $C_k$ es de la forma $T_{i_kj_k}(c_k)$, entonces cada una de las $c_k$ es incluso, de que lo que quiero mostrar de la siguiente manera. Sin embargo no puedo probar esto (puede ser simplemente malo).

Yo estaría agradecido si usted podría proporcionar una pista.

Answer 1

Quiero ir al infinito descenso, y para mostrar que siempre se puede make a given non-identity element of the group smaller multiplicando con un generador o su inverso, desde la izquierda o a la derecha. El truco es, entonces, definir a los "más pequeños" de manera que esto no siempre es posible. Esto no está garantizado para el trabajo en general, pero es una cosa natural para tratar.

Deje $g=\pmatrix{a&b\cr c&d\cr}$ ser un elemento de $G$. Supongamos primero que $bd\neq0$. Mientras que se mantiene, medir el tamaño de $g$ por el valor absoluto del producto de los elementos de la diagonal $|ad|$. La tarea es, entonces, demostrar que una de las matrices $Ag$, $A^{-1}g$, $Bg$, $B^{-1}g$, $gA$, $gA^{-1}$, $gB$, $gB^{-1}$ es menor que $g$ en el prescritos sentido. En otras palabras, queremos hacer $g$ más pequeños mediante la adición de uno de sus filas o columnas a la otra multiplicada por $\pm2$ (multiplicación por una primaria de la matriz de la cantidad correcta de una escuela primaria de la columna de operación).

W. l.o.g. podemos suponer que $|a|\ge |d|$ (hacer los cambios evidentes en la fila/columna de operaciones a continuación, si ese no es el caso. Entonces es imposible que tanto las desigualdades $|b|>|a|$ $|c|>|a|$ mantener, como, a continuación, $|bc|>|ad|$ y el congruencias implicaría que $|\det g|\ge3.$, por Lo que tendremos a $|b|<|a|$ o $|c|<|a|$. En el primer caso se puede disminuir el $|a|$ mediante la adición de la segunda columna multiplicada por uno de $\pm2$ a la primera. Como $|d|$ no cambio tenemos la conclusión deseada. En este último caso añadimos una multiplicar de la segunda fila multiplicada por $\pm2$ a la primera de efecto similar.

La operación anterior hacer $g$ menor en el prescritos sentido a menos que uno de los elementos de la diagonal es igual a cero. Voy a dejar que el caso para usted, con la sugerencia de que si $b=0$ o $c=0$, entonces usted puede fácilmente demostrar que $a=d=1$.

El reclamo de la siguiente manera. La idea es que si $A$ $B$ no generar todos los de $G$, que sería un "mínimo" elemento que falta.