Pregunta en compactification

Question

Yo estaba estudiando para quals y tenía problemas con esta pregunta. Cualquier ayuda sería genial, gracias.

Dos puntos de compactifcation de un espacio de Hausdorff $X$ es un compacto Hausdorff espacio $Y$ tal que $X$ es un subespacio denso de $Y$, e $Y \setminus X$ consiste de exactamente dos puntos. Demostrar que no hay dos-punto compactification del plano Euclidiano $\mathbb{R}^2$ existe.

Answer 1

Este es un fresco de la pregunta. Hausdorff reglas de una esfera de Riemann "con los dos polos norte", análoga a la línea real con dos orígenes. Yo creo que se quiere usar el hecho de que el complemento de un disco cerrado en el plano es homeomórficos a un pinchazo en un disco.

Answer 2

(Después de algunas consideraciones, me doy cuenta de que los de abajo sólo establece las ideas de Ted Shifrin la respuesta de arriba/abajo).

Supongamos que $Y = \mathbb{R}^2 \cup \{ \infty_1 , \infty_2 \}$ es un dos-punto compactification de $\mathbb{R}^2$. Elegir distintos abrir barrios $U_1$ $U_2$ $\infty_1$, $\infty_2$, respectivamente. Por la compacidad de $Y$ se sigue que $Y \setminus ( U_1 \cup U_2 )$ es compacto, y por lo tanto debe ser cerrado y acotado subconjunto de $\mathbb{R}^2$, dicen $$Y \setminus ( U_1 \cup U_2 ) =\mathbb{R}^2 \setminus ( U_1 \cup U_2 ) \subseteq \{ ( x,y) \in \mathbb{R}^2 : \| (x,y) \| \leq M \}$$ for some $M > 0$. Note that $\{ ( x,y) \in \mathbb{R}^2 : \| (x,y) \| > M \}$ is a connected subset of $\mathbb{R}^2$, however $U_1 \setminus \{ \infty_1 \}$ and $U_2 \setminus \{ \infty_2 \}$ are disjoint nonempty open subsets of $\mathbb{R}^2$, que cubrirlo!