Escribir $3\sin(x)+4\cos(x)$ en forma de $r \sin(x-a)$

Question

Necesito escribir $3\sin(x) + 4\cos(x)$ en forma de $r\sin(x-a)$ .

Ampliar $r\sin(x-a): r\sin(x)\cos(a)-r\sin(a)\cos(x)$

Comparación de las dos formas (la ecuación original y la forma expandida): $3=r\cos(a)$ y $4=-r\sin(a)$ .

Conseguir $r$ :

$$\begin{align*} 3^2 + 4^2 &= r^2 \cos(a)^2 + r^2 \sin(a)^2\\ 25 &= r^2 (\cos(a)^2 + \sin(a)^2)\\ 25 &= r^2\\ r &= -5, 5 \end{align*}$$

Conseguir $a$ :

$$\begin{align*} \frac{-r\sin(a)}{ r\cos(a)} &= \frac{3}{4}\\ \tan(a) &= -\frac{3}{4}\\ a &= \arctan(-3/4)\\ a &= -36.87, 143.13\\ \end{align*}$$

Las preguntas:- Hay dos valores para ambos $r$ y $a$ ¿Cómo debo elegir los valores que deben figurar en el formulario final?

Answer 1

Los dos valores de $a$ difieren en $180^{\circ}$ . Desde $\sin(y\pm 180^{\circ}) = -\sin(y)$ , quieres elegir $r$ y $a$ de tal manera que $r\sin(x-a)$ tiene el mismo signo que $3\sin x+ 4\cos x$ .

Cuando $x=0$ , $3\sin x + 4\cos x=4$ es positivo; por lo que se quiere elegir $r$ y $a$ para que $r\sin(-a)$ es positivo. Esto ocurre cuando $r=5$ y $a=-36.87^{\circ}$ o cuando $r=-5$ y $a=143.13$ . Las dos opciones funcionan, las otras dos posibilidades no.

Answer 2

$$\begin{align*} f(x) &= 3 \sin(x) + 4 \cos(x) \\ f(x) &= 5\left(\frac{3}{5} \sin(x) + \frac{4}{5} \cos(x) \right) \end{align*}$$

Dejemos que $\sin(y) = 4/5$ y $\cos(y) =3/5$ para algún número real $y$ . $$\begin{align*} f(x) &= 5\left(\cos(y)\sin(x) + \sin(y)\cos(x)\right)\\ f(x) &= 5\sin(x+y)&\text{(where }y = \arcsin(4/5)\text{)} \end{align*}$$ Utilizar las tablas trigonométricas, $y = 36.87$ . $$f(x) = 5\sin(x + 36.87^{\circ})$$ que también puede escribirse como $$f(x) = 5 \sin (180 - x - 36.87) = -5\sin(x - 144.13).$$ Esto justifica los 2 valores de $a$ y $r$ en $r\sin(x−a)$ .