Inadecuado integral de $\dfrac{x^2}{ e^x−1}$

Question

Estoy tratando de evaluar $$\int_0^t \frac{x^2}{ e^x−1}dx$$ para $t>0$. Traté de integración por partes, como sigue: $$\int_0^t x\cdot\frac{xe^{-x}}{1-e^{-x}}dx=t\cdot Li_2(1-e^{-t})-\int_0^t Li_2(1-e^{-x}) dx,$$ where $Li$ es el dilogarithm función. Pero entonces, ¿cómo debo proceder? Alguna sugerencia? Gracias.

Answer 1

Dependiendo de si la serie podría hacer, parece más fácil de integrar $x^2(e^{-x}+e^{-2x}+e^{-3x}+\cdots)$ por piezas en su lugar.

Answer 2

-$1^{st}$ Enfoque:

Usando integración por partes se obtiene

$$\begin{align}\int \frac{x^2}{e^x-1}dx &= x^2 \ (\ln (1-e^x) - x) - \int 2x\ln (1-e^x) - 2x^2 dx \\&= x^2\ln (1-e^x) - \frac{x^3}{3} +2xLi_{2}(e^x) - 2Li_{3}(e^x) +C \end{align}$$

La evaluación de separetly $\int x\ln(1-e^x) dx$ hemos

$$\int x\ln(1-e^x) dx = -xLi_{2}(e^x) + Li_{3}(e^x)$$

Donde $$\int \ln (1-e^x) = -Li_2(e^x) + C_1 (*) \ \ \text{and}\ \ \int Li_2(e^x) = Li_3(e^x) + C_2$$

$(*)$ Escritura $\ln(1 - e^x)$ en la serie y el uso de la integración término a término.

- $2^{nd}$ Enfoque:

$$\zeta (3) = \frac{1}{\Gamma(3)}\int_{0}^{\infty} \frac{x^{3-1}}{e^x-1} dx \Rightarrow \int_{0}^{\infty} \frac{x^{2}}{e^x-1} dx = 2\zeta(3) $$

Ver más sobre Riemann Zeta Función.

Answer 3

$\int_0^t\dfrac{x^2}{e^x-1}dx$

$=\int_0^t\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{B_nx^{n+1}}{n!}dx$ (con la fórmula en http://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli_number#Generating_function)

$=\left[\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{B_nx^{n+2}}{n!(n+2)}\right]_0^t$

$=\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{B_nt^{n+2}}{n!(n+2)}$

Answer 4

Tenga en cuenta que $$\eqalign{\dfrac{d}{dx} \text{Li}_n(e^x) &= \text{Li}_{n-1}(e^x),\ n \ge 3\cr \dfrac{d}{dx} \text{Li}_2(e^x) y= -\ln(1-e^x)\cr \dfrac{d}{dx} \left(-\ln(1 - e^x)\right) &= \dfrac{e^x}{1-e^x} = \dfrac{1}{1-e^x} - 1\cr}$$ Así que podemos hacer la integración por partes $$ \eqalign{\int \dfrac{x^n \; dx}{1-e^x} &= \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + \int \dfrac{x^n e^x\; dx}{1 - e^x} \cr &= \dfrac{x^{n+1}}{n+1} - x^n\ln(1 - e^x) + n \int x^{n-1} \ln(1 - e^x)\; dx\cr &= \dfrac{x^{n+1}}{n+1} - x^n\ln(1 - e^x) - n x^{n-1} \text{Li}_2(e^x) + n(n-1) \int x^{n-2} \text{Li}_2(e^x)\; dx}$$ etc.

Answer 5

de hecho, hemos $\int_{o}^{\infty}\frac{x^2}{e^{x}-1}dx=2\,\zeta \left( 3 \right)$