Colisión elástica de punto de partículas y la varilla

Question

1 metro de largo de la varilla en el hielo con la masa de $m_2=1$ kg es perpendicular a un golpe en uno de los extremos por un punto de la partícula con masa $m_1=0.1$ kg. El choque es elástico y el punto de partículas es devuelto en la misma dirección. Después de la colisión la varilla de frecuencia de la se $\nu =2$ Hz. ¿Cuál fue la velocidad inicial del punto de partículas?

Mi intento:

Puesto que la colisión es elástica, la energía cinética del sistema es la misma antes y después de la colisión: $$0.5m_1v_1^2=0.5J_2 \omega_2^2+0.5m_2v_2^2+0.5m_1v_3^2$$ Donde $v_3$ es la velocidad del punto de la partícula después de la colisión.

Ahora, en el caso de una barra: $$J=\frac{1}{12}L^2m$$ Y, sabemos también: $$\omega_2=2 \pi \nu$$ Y también no hay fuerzas externas, para ello el impulso del sistema es la misma antes y después de la colisión: $$m_1\vec{v_1}=m_1 \vec{v_3}+m_2\vec{v_2}$$ Aquí $v_1$ es la cantidad que estamos buscando, $v_3$ es el punto de la partícula la velocidad después de la colisión y $v_2$ es la velocidad de la varilla del centro de masa. De la siguiente manera: $$\vec{v_2}=\frac{m_1 \vec{v_1}-m_1 \vec{v_3}}{m_2}$$ De esto se sigue: $$0.5m_1v_1^2=\frac{1}{24}L^2m_2 4 \pi^2 \nu^2+0.5m_2 \left|\frac{m_1 \vec{v_1}-m_1 \vec{v_3}}{m_2}\right|^2+m_1v_3^2$$ Este es 1 ecuación con 2 incógnitas, y aquí es donde me quedo atascado. Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Con la conservación de la energía:

$$\left[\frac 12m_1v_i^2\right]_{particle}=\left[\frac 12m_1v_f^2\right]_{particle}+\left[\frac 12I\omega^2+\frac 12m_2v_2^2\right]_{rod}\\\text{where }I=\frac{ml^2}{12}=\frac1{12}$$

$$\frac {v_i^2}{20}=\frac {v_f^2}{20}+2\frac {\pi^2}{3}+\frac {v_2^2}2$$

$$v_i^2-v_f^2=\frac{40\pi^2}3+10v_2^2$$

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El uso de la conservación del momento:

$$m_1v_i=m_2v_2+m_1(-v_f)$$

$$\frac{v_i}{10}=\frac{-v_f}{10}+v_2$$

$$v_i+v_f=10v_2$$

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El uso de la conservación del momento angular:

$$m_1v_i\left(\frac l2\right)=m_1\left(-v_f\right)\left(\frac l2\right)+I\omega$$

$$\frac{v_i}{20}=\frac{-v_f}{20}+\frac{\pi}3$$

$$v_i+v_f=\frac{20\pi}3$$

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Por eso, $$10v_2=\frac{20\pi}3\implies v_2=\frac{2\pi}3$$ $$(v_i-v_f).\frac{20\pi}3=\frac{40\pi^2}3+10\left(\frac{2\pi}3\right)^2=\frac{160\pi^2}9\implies v_i-v_f = \frac{8\pi}3$$ También, $$v_i+v_f=\frac{20\pi}3$$ Así: $$v_i=\frac{14\pi}3,v_f=2\pi$$

Answer 2

La colisión de una varilla con un punto de masa es similar a la colisión de dos masas, pero con la masa efectiva de la varilla se

$$m' = m_{rod} \frac{I_{rod}}{I_{rod}+m_{rod} r^2}$$ where $r$ is the distance between the point of impact and the center of mass, and $I_{varilla}$ is the mass moment of inertia about the center of mass. If the rod is slender with length $\ell$ then $$I_{rod} = \frac{m}{12} \ell^2 \\ r = \frac{\ell}{2} \\ m' = m_{rod} \frac{1}{4}$$

Así que el impulso intercambiada es $$J = \frac{(1+\epsilon)\, v}{\frac{1}{m_{point}} + \frac{1}{m'}}$$ where $v$ is the impact speed and $\epsilon$ el coeficiente de restitución.

La velocidad final de la masa del punto es $$v_{point} = v - \frac{J}{m_{point}}$$

La velocidad final de la varilla de centro de masa es $$v_{rod} = \frac{J}{m_{rod}} \\ \omega_{rod} = \frac{r J}{I_{rod}}$$

NOTA: que la barra se va a girar alrededor de un punto con distancia $c$ desde el centro de la masa (en el lado opuesto del punto de impacto) que se encuentra en $c =\frac{I_{rod}}{m_{rod} r} = \frac{\ell}{6}$. Esto se conoce como el centro instantáneo de rotación y el punto de impacto es el centro de percusión del centro de rotación C.

Answer 3

Una cosa que puedes hacer es usar la conservación del momento angular en lugar de lineales en el punto de masa tiene una velocidad angular con respecto al centro de rotación de la varilla. (Si usted está confundido acerca de esto, imagínate ver un coche pasar por una carretera. El coche se mueve en una línea recta, sino que girar la cabeza para seguir, dándole un [cambiando constantemente] velocidad angular.) Encontrar la velocidad angular de la partícula en el instante antes de la colisión, aplicar la conservación del momento angular, y resolver el problema a partir de ahí.